Derivati se mogu koristiti za izvođenje korisnih karakteristika iz grafikona, kao što su maksimalne, minimalne, vršne, najniže i nagibne vrijednosti. Možete ga čak koristiti za iscrtavanje složenih jednadžbi bez grafičkog kalkulatora! Nažalost, rad na izvedenicama često je dosadan, ali ovaj će vam članak pomoći s nekoliko savjeta i trikova.
Korak
Korak 1. Shvatite izvedene zapise
Sljedeće dvije oznake se najčešće koriste, iako se mnoge druge mogu pronaći ovdje na Wikipediji.
- Leibnizov zapis Ovaj zapis je najčešće korišteni zapis kada jednadžba uključuje y i x. dy/dx doslovno znači izvedenicu y u odnosu na x. Moglo bi biti korisno zamisliti ga kao y/Δx za vrlo različite vrijednosti x i y. Ovo objašnjenje dovodi do definicije granice izvedenice: limh-> 0 (f (x+h) -f (x))/h. Kada koristite ovaj zapis za drugu izvedenicu, trebali biste napisati: d2y/dx2.
- Lagrangeov zapis Derivacija funkcije f je također zapisana kao f '(x). Ovaj zapis glasi f s naglaskom x. Ovaj je zapis kraći od Leibnizovog zapisa i koristan je pri gledanju derivata kao funkcija. Da biste formirali veći stupanj izvedenice, samo dodajte 'to f, pa će druga derivacija biti f' '(x).
Korak 2. Shvatite značenje izvedenice i razloge za spuštanje
Prvo, da bi se pronašao nagib linearnog grafa, uzimaju se dvije točke na liniji, a njihove koordinate se unose u jednadžbu (y2 - da1)/(x2 - x1). Međutim, može se koristiti samo za linearne grafikone. Za kvadratne jednadžbe i više, linija će biti krivulja, pa pronalaženje razlike između dvije točke nije baš točno. Da bi se našao nagib tangente u grafikonu krivulje, uzimaju se dvije točke i stavljaju u opću jednadžbu kako bi se pronašao nagib krivulje grafikona: [f (x + dx) - f (x)]/dx. Dx označava deltu x, što je razlika između dvije x koordinate u dvije točke grafikona. Imajte na umu da je ova jednadžba ista kao (y2 - da1)/(x2 - x1), samo u drugom obliku. Budući da se znalo da će rezultati biti neprecizni, primijenjen je neizravan pristup. Da bi se pronašao nagib tangente na (x, f (x)), dx mora biti blizu 0, tako da se dvije nacrtane točke spoje u jednu točku. Međutim, ne možete podijeliti 0, pa ćete nakon unosa vrijednosti s dvije točke morati koristiti faktoring i druge metode za uklanjanje dx s dna jednadžbe. Kad to učinite, napravite dx 0 i gotovi ste. Ovo je nagib tangente na (x, f (x)). Derivacija jednadžbe opća je jednadžba za nalaženje nagiba bilo koje tangente na grafikonu. To se može činiti vrlo kompliciranim, no u nastavku slijedi nekoliko primjera koji će vam pomoći objasniti kako doći do izvedenice.
Metoda 1 od 4: Eksplicitni derivati
Korak 1. Koristite eksplicitnu izvedenicu ako vaša jednadžba već ima y na jednoj strani
Korak 2. Uključite jednadžbu u jednadžbu [f (x + dx) - f (x)]/dx
Na primjer, ako je jednadžba y = x2, derivacija će biti [(x + dx)2 - x2]/dx.
Korak 3. Proširite i uklonite dx kako biste oblikovali jednadžbu [dx (2x + dx)]/dx
Sada možete baciti dva dx -a na vrh i na dno. Rezultat je 2x + dx, a kako se dx približava nuli, derivacija je 2x. To znači da je nagib bilo koje tangente grafa y = x2 je 2x. Samo unesite x vrijednost za točku za koju želite pronaći nagib.
Korak 4. Naučite obrasce za izvođenje sličnih jednadžbi
Evo nekoliko primjera.
- Svaki eksponent je stepen snage puta vrijednosti, povišen na stepen manji od 1. Na primjer, derivacija x5 je 5x4, i izvedenica od x3, 5 iis3, 5x2, 5. Ako već postoji broj ispred x, samo ga pomnožite s potencijom. Na primjer derivacija 3x4 je 12x3.
- Izvod bilo koje konstante je nula. Dakle, derivacija 8 je 0.
- Derivat zbroja je zbroj odgovarajućih derivata. Na primjer, izvedenica od x3 + 3x2 je 3x2 + 6x.
- Derivat proizvoda prvi je faktor puta uvećan derivacijom drugog faktora plus drugi faktor pomnožen s derivacijom prvog faktora. Na primjer, izvedenica od x3(2x + 1) je x3(2) + (2x + 1) 3x2, što je jednako 8x3 + 3x2.
- Derivacija količnika (recimo, f/g) je [g (izvedenica od f) - f (izvedenica od g)]/g2. Na primjer, derivacija (x2 + 2x - 21)/(x - 3) je (x2 - 6x + 15)/(x - 3)2.
Metoda 2 od 4: Implicitni derivati
Korak 1. Upotrijebite implicitne izvode ako se vaša jednadžba već ne može napisati s y na jednoj strani
Zapravo, ako ste napisali y na jednoj strani, izračunavanje dy/dx bilo bi dosadno. Evo primjera kako možete riješiti ovu vrstu jednadžbe.
Korak 2. U ovom primjeru x2y + 2y3 = 3x + 2y, zamijenite y s f (x), pa ćete zapamtiti da je y zapravo funkcija.
Jednadžba tada postaje x2f (x) + 2 [f (x)]3 = 3x + 2f (x).
Korak 3. Da biste pronašli izvedenicu ove jednadžbe, izvedite obje strane jednadžbe s obzirom na x
Jednadžba tada postaje x2f '(x) + 2xf (x) + 6 [f (x)]2f '(x) = 3 + 2f' (x).
Korak 4. Ponovno zamijenite f (x) s y
Pazite da ne zamijenite f '(x), što se razlikuje od f (x).
Korak 5. Pronađite f '(x)
Odgovor za ovaj primjer glasi (3 - 2xy)/(x2 + 6g2 - 2).
Metoda 3 od 4: Derivati višeg reda
Korak 1. Izvođenje funkcije višeg reda znači da izvodite izvedenicu (prema redu 2)
Na primjer, ako problem traži da izvedete treći red, tada samo uzmite izvedenicu izvedenice izvedenice. Za neke jednadžbe derivacija višeg reda bit će 0.
Metoda 4 od 4: Lančano pravilo
Korak 1. Ako je y diferencijalna funkcija od z, a z je diferencijalna funkcija od x, y je složena funkcija od x, a derivacija y u odnosu na x (dy/dx) je (dy/du)* (du/dx)
Pravilo lanca također može biti kombinacija jednadžbi moći, poput ove: (2x4 - x)3. Da biste pronašli izvedenicu, zamislite je kao pravilo množenja. Pomnožite jednadžbu s moći i smanjite za 1 na stepen. Zatim pomnožite jednadžbu s derivacijom jednadžbe u zagradama koja povećava snagu (u ovom slučaju 2x^4 - x). Odgovor na ovo pitanje je 3 (2x4 - x)2(8x3 - 1).
Savjeti
- Kad god vidite težak problem za rješavanje, ne brinite. Pokušajte ga raščlaniti na što je moguće manje dijelove primjenjujući pravila množenja, količnik itd. Zatim spustite svaki dio.
- Vježbajte s pravilom množenja, kvocijentnim pravilom, pravilom lanca, a posebno implicitnim izvedenicama, jer su ta pravila mnogo teža u računu.
- Dobro razumite svoj kalkulator; isprobajte različite funkcije u svom kalkulatoru kako biste naučili kako ih koristiti. Vrlo je korisno znati koristiti tangente i izvedene funkcije u svom kalkulatoru ako su dostupne.
- Sjetite se osnovnih trigonometrijskih izvedenica i načina njihove uporabe.
