Ovladavanje algebrom bitno je za nastavak gotovo bilo koje vrste matematike, bilo u osnovnoj ili srednjoj školi. Svaka matematička razina ima temelj, pa je svaka matematička razina vrlo važna. Međutim, čak i najosnovnije algebarske vještine početnicima mogu biti teško shvatiti pri prvom susretu. Ako imate problema s osnovnim temama iz algebre, ne brinite - uz malo dodatnog objašnjenja, nekoliko lakih primjera i nekoliko savjeta za poboljšanje vještina, uskoro ćete probleme s algebrom rješavati kao profesionalac.
Korak
1. dio od 5: Učenje osnovnih pravila algebre
Korak 1. Pregledajte svoje osnovne matematičke operacije
Da biste počeli učiti algebru, morat ćete poznavati osnovne matematičke vještine poput zbrajanja, oduzimanja, množenja i dijeljenja. Ova matematika u osnovnoj/osnovnoj školi vrlo je važna prije nego počnete učiti algebru. Ako ne ovladate tim vještinama, bit će teško dovršiti složenije pojmove koji se uče u algebri. Ako trebate osvježenje za ove operacije, isprobajte naš članak o osnovnim matematičkim vještinama.
Ne morate biti dobri u obavljanju ovih osnovnih operacija u glavi da biste riješili probleme s algebrom. Mnoge klase algebre omogućuju vam korištenje kalkulatora za uštedu vremena pri izvođenju ovih jednostavnih operacija. Međutim, trebali biste barem znati izvesti te operacije bez kalkulatora kada vam nije dopušteno koristiti kalkulator
Korak 2. Upoznajte redoslijed operacija
Jedna od najlukavijih stvari u rješavanju algebarskih jednadžbi kao početnika je poznavanje redoslijeda kojim počinju. Srećom, postoji određeni redoslijed u rješavanju ovih problema: prvo izvršite bilo koju matematičku operaciju u zagradama, zatim izvodite eksponente, zatim množite, zatim dijelite, pa zbrajajte i na kraju oduzimajte. Korisno sredstvo za pamćenje redoslijeda ovih operacija su kratice KPKBJK. Ovdje saznajte kako primijeniti redoslijed operacija. Ukratko, redoslijed operacija je sljedeći:
- Kiznevjeriti
- Ppodizanje/eksponent
- Kali
- Bopet
- Jumlah
- K škampi
-
Redoslijed operacija važan je u algebri jer izvođenje operacija u problemu algebre u pogrešnom redoslijedu ponekad može utjecati na odgovor. Na primjer, ako riješimo matematički zadatak 8 + 2 × 5, ako prvo zbrojimo 2 i 8, dobit ćemo 10 × 5 = 50, ali ako prvo pomnožimo 2 i 5, dobit ćemo 8 + 10 =
Korak 18.. Samo je drugi odgovor točan.
Korak 3. Znati koristiti negativne brojeve
U algebri je uporaba negativnih brojeva vrlo česta. Stoga je dobra ideja prije nego što počnete učiti algebru pregledati kako zbrajati, oduzimati, množiti i dijeliti negativne brojeve. Evo nekoliko osnova negativnih brojeva koje treba zapamtiti - za više informacija pogledajte naše članke o zbrajanju i oduzimanju negativnih brojeva te dijeljenju i množenju negativnih brojeva.
- Na brojčanoj liniji negativna verzija broja je na istoj udaljenosti od nule kao i pozitivan broj od nule, ali u suprotnom smjeru.
- Dodavanje dva negativna broja čini broj još negativnijim (drugim riječima, znamenka će biti veća, ali budući da je broj negativan, vrijednost će biti manja)
- Dva negativna znaka međusobno se poništavaju - oduzimanje negativnog broja isto je što i dodavanje pozitivnog broja
- Množenje ili dijeljenje dva negativna broja daje pozitivan odgovor.
- Množenje ili dijeljenje pozitivnog broja i negativnog broja daje negativan odgovor.
Korak 4. Znati strukturirati dugačka pitanja
Dok se jednostavni problemi s algebrom mogu lako riješiti, složeniji problemi mogu zahtijevati mnogo koraka. Da biste izbjegli pogreške, neka vaš posao bude organiziran pokretanjem nove linije svaki put kada napravite korak da dovršite svoj problem. Ako radite s dvostranom jednadžbom, pokušajte zapisati sve znakove jednakosti (“=”) ispod ostalih znakova jednakosti. Na ovaj način, ako negdje pogriješite, lakše ćete je pronaći i ispraviti.
-
Na primjer, da bismo riješili jednadžbu 9/3 - 5 + 3 × 4, možda bismo mogli strukturirati naš problem ovako:
-
- 9/3 - 5 + 3 × 4
- 9/3 - 5 + 12
- 3 - 5 + 12
- 3 + 7
- Korak 10.
-
2. dio od 5: Razumijevanje varijabli
Korak 1. Potražite simbole koji nisu brojevi
U algebri ćete početi vidjeti slova i simbole koji se pojavljuju u vašim matematičkim problemima, a ne samo brojeve. Ova slova i simboli nazivaju se varijablama. Varijable nisu toliko zbunjujuće koliko se čini na prvi pogled - samo su način zapisivanja brojeva s nepoznatim vrijednostima. Ispod je samo nekoliko uobičajenih primjera varijabli u algebri:
- Slova poput x, y, z, a, b i c
- Grčka slova poput theta ili
- Imajte na umu da nisu svi simboli nepoznate varijable. Na primjer, pi, ili, uvijek je jednako 3.1459.
Korak 2. Zamislite varijable kao "nepoznate" brojeve
Kao što je gore spomenuto, varijable su u osnovi samo brojevi s nepoznatim vrijednostima. Obično je vaš cilj u problemima algebre saznati vrijednost varijable - zamislite varijablu kao "tajanstveni broj" koji pokušavate pronaći.
-
Na primjer, u jednadžbi 2x + 3 = 11, x je naša varijabla. To znači da postoji nekoliko vrijednosti koje zauzimaju mjesto x kako bi lijeva strana jednadžbe bila jednaka 11. Budući da je 2 × 4 + 3 = 11, u ovom slučaju x =
Korak 4..
-
Jednostavan način za razumijevanje varijabli je zamjena upitnicima u problemima algebre. Na primjer, jednadžbu 2 + 3 + x = 9 možemo prepisati u 2 + 3 +?
= 9. To nam olakšava razumijevanje stvari koje pokušavamo učiniti - samo moramo pronaći vrijednost koja se mora dodati 2 + 3 = 5 da bismo dobili 9. Opet, naravno, odgovor je
Korak 4..
Korak 3. Ako se varijabla pojavljuje više puta, pojednostavite varijablu
Što učiniti ako se ista varijabla pojavi više puta u jednadžbi? Iako se ova situacija može činiti teškom za rješavanje, zapravo se prema varijablama možete odnositi kao prema normalnim brojevima - drugim riječima, možete ih zbrajati, oduzimati i tako dalje, sve dok kombinirate samo slične varijable. Drugim riječima, x + x = 2x, ali x + y nije jednako 2xy.
-
Na primjer, pogledajmo jednadžbu 2x + 1x = 9. U ovom zadatku možemo zbrojiti 2x i 1x kako bismo dobili 3x = 9. Budući da je 3 x 3 = 9, znamo da je x =
Korak 3..
- Imajte na umu još jednom da možete dodati samo iste varijable zajedno. U jednadžbi 2x + 1y = 9 ne možemo kombinirati 2x i 1y jer su različite varijable.
- To vrijedi i kada jedna varijabla ima drugačiji eksponent od druge varijable. Na primjer, u jednadžbi 2x + 3x2 = 10, ne možemo kombinirati 2x i 3x2 jer varijabla x ima drugačiji eksponent. Za više informacija pogledajte kako dodati eksponente.
3. dio od 5: Učenje rješavanja jednadžbi "negacijom"
Korak 1. Pokušajte izolirati varijable u algebarskim jednadžbama
Rješavanje jednadžbi u algebri obično znači saznati vrijednost varijable. Algebarske jednadžbe obično se sastoje od brojeva i/ili varijabli s obje strane, ovako: x + 2 = 9 × 4. Da biste pronašli vrijednost varijable, morate izolirati varijablu s jedne strane znaka jednakosti. Sve što ostane s druge strane znaka jednakosti vaš je odgovor.
U primjeru (x + 2 = 9 × 4), da bismo izolirali x na lijevoj strani jednadžbe, moramo eliminirati " + 2". Da bismo to učinili, samo moramo oduzeti 2 s te strane, ostavljajući nam x = 9 × 4. Međutim, kako bismo obje strane jednadžbe ostale jednake, moramo oduzeti 2 i s druge strane. Ostaje nam x = 9 × 4 - 2. Slijedeći redoslijed operacija, prvo množimo, a zatim oduzimamo, dajući naš odgovor x = = 36 - 2 = 34.
Korak 2. Uklonite zbrajanje oduzimanjem (i obrnuto)
Kao što smo upravo vidjeli gore, izoliranje x na jednoj strani znaka jednakosti obično znači uklanjanje brojeva pored njega. Da bismo to učinili, izvršavamo operaciju "obrnuto" s obje strane jednadžbe. Na primjer, u jednadžbi x + 3 = 0, budući da nakon našeg x vidimo " + 3", stavit ćemo "-3" s obje strane. "+3" i "-3", ostavljajući x sam i "-3" s druge strane znaka jednakosti, ovako: x = -3.
-
Općenito, zbrajanje i oduzimanje su poput "obrnutih" - izračunajte jednu operaciju da biste odbacili drugu. Pogledaj ispod:
-
- Za zbrajanje, oduzmite. Primjer: x + 9 = 3 → x = 3 - 9
- Za oduzimanje zbroji. Primjer: x - 4 = 20 → x = 20 + 4
-
Korak 3. Uklonite množenje dijeljenjem (i obrnuto)
Množenje i dijeljenje je malo teže raditi od zbrajanja i oduzimanja, ali ti izračuni imaju isti "obrnuti" odnos. Ako vidite "× 3" na jednoj strani, poništit ćete ga dijeljenjem obje strane s 3 itd.
-
S množenjem i dijeljenjem morate izvesti obrnutu operaciju za sve brojeve koji se nalaze s druge strane znaka jednakosti, čak i ako ta stranica sadrži više od jednog broja. Pogledaj ispod:
-
- Za množenje podijelite. Primjer: 6x = 14 + 2 → x = (14 + 2) /6
- Za podjelu, pomnožite. Primjer: x/5 = 25 → x = 25 × 5
-
Korak 4. Uklonite eksponent pronalaženjem korijena (i obrnuto)
Eksponenti su prilično napredna tema predalgebre - ako ne znate kako to učiniti, za više informacija pogledajte naš članak o osnovnim eksponentima. "Obrnuto" eksponenta je korijen koji ima isti broj kao i eksponent. Na primjer, recipročna vrijednost eksponenta 2 je kvadratni korijen (√), recipročan eksponenta 3 je korijen kocke (3), i tako dalje.
-
Ovo bi moglo biti malo zbunjujuće, ali u ovim slučajevima tražite korijene obje strane pri radu s eksponentom. Drugim riječima, radite eksponeniranje za obje strane dok radite s korijenom. Pogledaj ispod:
-
- Za eksponent pronađite korijen. Primjer: x2 = 49 → x = √49
- Za korijenje, podignite. Primjer: x = 12 → x = 122
-
4. dio od 5: Izoštrite svoje vještine algebre
Korak 1. Pomoću slika razjasnite pitanja
Ako imate problema sa zamišljanjem problema s algebrom, pokušajte upotrijebiti dijagram ili sliku za ilustraciju svoje jednadžbe. Možete čak pokušati i s hrpom fizičkih objekata (poput blokova ili kovanica) ako ih imate.
-
Na primjer, riješimo jednadžbu x + 2 = 3 pomoću kvadrata (☐)
-
- x +2 = 3
- ☒+☐☐ =☐☐☐
- U ovom koraku ćemo oduzeti 2 s obje strane uklanjanjem 2 kvadrata (☐☐) s obje strane:
- ☒+☐☐-☐☐ =☐☐☐-☐☐
-
= ☐, ili x =
Korak 1.
-
-
Kao drugi primjer, pokušajmo 2x = 4
-
- ☒☒ =☐☐☐☐
- U ovom koraku podijelit ćemo dvije strane odvajanjem kutija sa svake strane u dvije grupe:
- ☒|☒ =☐☐|☐☐
-
=, ili x =
Korak 2.
-
Korak 2. Upotrijebite "provjere zdravog razuma" (posebno za pitanja o priči)
Prilikom pretvaranja problema u algebru, pokušajte provjeriti formule unošenjem jednostavnih vrijednosti za svoje varijable. Ima li vaša jednadžba smisla kada je x = 0? Kada je x = 1? Kada je x = -1? Lako je napraviti jednostavnu pogrešku ako napišete p = 6d kada mislite na p = d/6, ali ove će stvari biti lako uočljive ako prije nego što nastavite, obavite brzu, razumnu provjeru svog posla.
Na primjer, rečeno nam je da je nogometno igralište 30 m duže nego što je široko. Za prikaz ovog problema koristimo jednadžbu p = l + 30. Možemo li provjeriti ima li ova jednadžba smisla unosom jednostavnih vrijednosti za l. Na primjer, ako polje ima širinu l = 10 m, duljina je 10 + 30 = 40 m. Ako je širina 30 m, duljina je 30 + 30 = 60 m, itd. Ova jednadžba ima smisla - očekujemo da će ovo polje imati veću duljinu s povećanjem širine, pa ova jednadžba ima smisla
Korak 3. Imajte na umu da odgovori nisu uvijek cijeli brojevi u algebri
Odgovori u algebri i drugim naprednim oblicima nisu uvijek jednostavni, okrugli brojevi. Taj broj može biti decimalni, razlomljeni ili iracionalni broj. Kalkulator vam može pomoći u pronalaženju ovih složenih odgovora, ali imajte na umu da će vaš učitelj možda zahtijevati da svoje odgovore napišete u točnom obliku, a ne u kompliciranom decimalnom obliku.
Na primjer, pojednostavit ćemo algebarsku jednadžbu na x = 12507. Utipkamo li 12507 u kalkulatoru ćemo dobiti jako puno decimalnih mjesta (osim toga, budući da zaslon kalkulatora nije velik, kalkulator ne može prikazati sve odgovore.) U ovom slučaju, možda bismo htjeli zapisati naš odgovor kao samo 12507 ili pojednostaviti odgovor upisivanjem u znanstveni zapis.
Korak 4. Kad se osjećate samouvjereno s osnovnom algebrom, pokušajte faktoring
Jedna od najsloženijih algebarskih sposobnosti od svih je faktoring - vrsta prečaca za pretvaranje složenih jednadžbi u jednostavnije oblike. Faktoring je polunapredna tema algebre, pa razmislite o tome da pogledate gornji članak ako imate problema s svladavanjem. U nastavku je samo nekoliko brzih savjeta za jednadžbe faktoringa:
- Jednadžba oblika ax + ba ubraja se u a (x + b). Primjer: 2x + 4 = 2 (x + 2)
- Jednadžba oblika ax2 + bx se računa u cx ((a/c) x + (b/c)) gdje je c najveći broj koji može ravnomjerno podijeliti a i b. Primjer: 3 g2 + 12y = 3y (y + 4)
- Jednadžba oblika x2 + bx + c se računa u (x + y) (x + z) gdje je y × z = c i yx + zx = bx. Primjer: x2 + 4x + 3 = (x + 3) (x + 1).
Korak 5. Vježbajte, vježbajte i vježbajte
Napredak u algebri (i drugim vrstama matematike) zahtijeva puno napornog rada i ponavljanja. Ne brinite - obraćajući pozornost na satu, izvršavajući sve svoje zadatke i tražeći pomoć od svog učitelja ili drugih učenika kad vam zatreba, algebra će postati navika.
Korak 6. Zamolite svog učitelja da vam pomogne razumjeti složene algebarske teme
Ako imate problema s razumijevanjem algebre, ne brinite - ne morate je učiti sami. Vaš učitelj je prva osoba kojoj se trebate obratiti za pitanja. Nakon sata učtivo zamolite učitelja za pomoć. Dobar učitelj obično će biti spreman ponovno objasniti temu dana na sastanku nakon škole, a vaš će vam učitelj možda moći dostaviti dodatne materijale za vježbu.
Ako vam iz nekog razloga učitelj ne može pomoći, pitajte ga o dodatnim mogućnostima učenja u vašoj školi. Mnoge škole imaju neku vrstu programa poslije škole koji vam može pomoći da dobijete dodatno vrijeme i pažnju koja vam je potrebna za početak savladavanja vaše algebre. Zapamtite da se korištenje besplatne pomoći koja vam je na raspolaganju ne treba sramiti - to je znak da ste dovoljno pametni da riješite svoj problem
5. dio od 5: Istraživanje srednjih tema
Korak 1. Naučite grafički prikazati jednadžbu x/y
Grafovi mogu biti vrijedan alat u algebri jer vam omogućuju izlaganje ideja koje zahtijevaju brojeve u obliku slika koje su lako razumljive. Obično su u početnoj algebri problemi s grafikonom ograničeni na jednadžbe s dvije varijable (obično x i y) i predstavljeni su u jednostavnim 2-D grafikonima s osi x i y. S ovim jednadžbama sve što trebate učiniti je unijeti vrijednost za x, zatim potražiti y (ili obrnuto) da biste dobili dva broja koja postaju točka na grafikonu.
- Na primjer, u jednadžbi y = 3x, ako za x unesemo 2, dobivamo y = 6. To znači da je točka (2, 6) (dva koraka desno od središta grafikona i šest koraka gore od središta grafikona) dio je grafikona ove jednadžbe.
- Jednadžbe oblika y = mx + b (gdje su m i b brojevi) vrlo su česte u osnovnoj algebri. Ove jednadžbe uvijek imaju gradijent ili nagib m i sijeku os y pri y = b.
Korak 2. Naučite kako riješiti nejednakosti
Što radite kada vaša jednadžba nema znak jednakosti? Ispostavilo se da se ne razlikuje previše od onoga što inače radite. Za nejednakosti, koje koriste znakove poput> ("veće od") i <("manje od"), jednostavno riješite kao i obično. Ostavit ćete odgovor koji je manji ili veći od vaše varijable.
-
Na primjer, s jednadžbom 3> 5x - 2 riješili bismo je kao što bismo to učinili redovitom jednadžbom:
-
- 3> 5x - 2
- 5> 5x
- 1> x, ili x <1.
-
- To znači da bilo koji broj manji od jedan može biti vrijednost x. Drugim riječima, x može biti 0, -1, -2, i tako dalje. Ako ove brojeve uvrstimo u jednadžbu za x, uvijek ćemo dobiti odgovor manji od 3.
Korak 3. Rad na kvadratnim jednadžbama
Jedna od algebarskih tema s kojima početnici mogu imati problema je rješavanje kvadratnih jednadžbi. Kvadrat je jednadžba oblika ax2 + bx + c = 0, gdje su a, b i c brojevi (osim što a ne može biti 0). Ove se jednadžbe rješavaju formulom x = [-b +/- (b2 - 4ac)]/2a. Budite oprezni - znak +/- znači da morate pronaći odgovore na zbrajanje i oduzimanje kako biste mogli imati dva odgovora na ove vrste pitanja.
-
Na primjer, riješimo kvadratnu formulu 3x2 + 2x -1 = 0.
-
- x = [-b +/- (b2 - 4ac)]/2a
- x = [-2 +/- (22 - 4(3)(-1))]/2(3)
- x = [-2 +/- (4- (-12))]/6
- x = [-2 +/- (16)]/6
- x = [-2 +/- 4]/6
- x = - 1 i 1/3
-
Korak 4. Eksperimentirajte sa sustavima jednadžbi
Rješavanje više jednadžbi odjednom može zvučati vrlo komplicirano, ali kada radite s jednostavnim algebarskim jednadžbama, to zapravo i nije tako teško. Učitelji algebre često koriste grafički pristup rješavanju ovih problema. Kada radite sa sustavom dviju jednadžbi, rješenja su točke na grafikonu gdje se linije dvije jednadžbe sijeku.
- Na primjer, radimo sa sustavom čije su jednadžbe y = 3x -2 i y = -x -6. Ako ove dvije crte nacrtamo na grafikonu, dobit ćemo jednu liniju koja se podiže za strmi kut, a jednu koji se spušta strmim kutom.nježni kut. Budući da se te crte sijeku u točki (-1, -5), tada je ova točka rješenje ovog sustava.
-
Ako želimo provjeriti svoj problem, to možemo učiniti uključivanjem našeg odgovora u jednadžbu u sustavu - točan odgovor bit će "točan" za obje jednadžbe.
-
- y = 3x - 2
- -5 = 3(-1) - 2
- -5 = -3 - 2
- -5 = -5
- y = -x - 6
- -5 = -(-1) - 6
- -5 = 1 - 6
- -5 = -5
-
- Obje jednadžbe su "provjerene", pa je naš odgovor točan!
Savjeti
- Postoje mnogi resursi za učenje algebre s interneta. Na primjer, potražite "algebarske formule" u tražilici. Toliko će se sjajnih rezultata pokazati. Također možete pokušati pregledati izbor članaka iz matematike wikiHow. Tamo ima mnogo informacija, pa počnite istraživati odmah!
- Jedno sjajno mjesto za početnike u algebri je khanacademy.com. Ova besplatna web stranica nudi desetke lekcija koje je lako pratiti o raznim temama, uključujući algebru. Postoje videozapisi za sve ove teme, od vrlo jednostavnih osnova do naprednih tema na sveučilišnoj razini. Zato se nemojte bojati istraživati materijale Khan Academy i početi koristiti svu pomoć koju web mjesto nudi!
- Ne zaboravite da vaši najbolji resursi kada pokušavate naučiti algebru uključuju ljude koje dobro poznajete. Pitajte svoje prijatelje ili kolege o posljednjoj lekciji koju niste razumjeli.
