3 načina za faktoring trinoma

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-15 08:16

Trinom je algebarski izraz koji se sastoji od tri pojma. Najvjerojatnije ćete početi učiti kako faktoriti kvadratni trinom, što znači trinom koji je napisan u obliku sjekire² + bx + c. Postoji nekoliko trikova za naučiti, koji se mogu koristiti za mnoge različite vrste kvadratnih trinoma, ali vježbom ćete ih moći bolje i brže koristiti. Polinomi višeg reda s izrazima poput x³ ili x⁴, ne može se uvijek riješiti na isti način, ali često možete koristiti jednostavno faktoring ili zamjenu kako biste ga pretvorili u problem koji se može riješiti kao i svaka druga kvadratna formula.

Korak

Metoda 1 od 3: Faktoring x² + bx + c

Korak 1. Naučite PLDT množenje

Možda ste naučili kako pomnožiti PLDT ili "Prvo, van, unutra, posljednje" za množenje izraza poput (x+2) (x+4). Korisno je znati kako ovo množenje funkcionira prije nego što računamo:

Umnožite plemena Prvi: (x+2)(x+4) = x² + _
Umnožite plemena Vani: (x+2) (x+

Korak 4.) = x²+ 4x + _
Umnožite plemena U: (x+

Korak 2.)(x+4) = x²+4x+ 2x + _
Umnožite plemena Konačno: (x+

Korak 2.)(x

Korak 4.) = x²+4x+2x

Korak 8.
Pojednostavite: x²+4x+2x+8 = x²+6x+8

Korak 2. Shvatite faktoring

Kada pomnožite dva binoma pomoću PLDT metode, dobit ćete trinom (izraz s tri člana) u obliku a x²+ b x+ c, gdje su a, b i c obični brojevi. Ako počnete s jednadžbom koja ima isti oblik, možete je vratiti u dva binoma.

Ako jednadžbe nisu zapisane ovim redoslijedom, preuredite jednadžbe tako da imaju ovaj redoslijed. Na primjer, prepišite 3x - 10 + x² Postaje x² + 3x - 10.
Budući da je najveća snaga 2 (x², ova vrsta izraza naziva se kvadratna.

Korak 3. Ostavite prazno mjesto za odgovor u obliku PLDT množenja

Za sada samo napišite (_ _)(_ _) gdje ćete napisati odgovor. Ispunit ćemo ga dok radimo na tome

Nemojte pisati + ili - između praznih pojmova jer još ne znamo točan znak

Korak 4. Ispunite prve izraze

Za jednostavne probleme, prvi član vašeg trinoma je samo x², uvjeti na prvom mjestu su uvijek x i x. To su čimbenici pojma x² jer je x puta x = x².

Naš primjer x² + 3x - 10 počinje s x², pa možemo napisati:
(x _) (x _)
U sljedećem ćemo odjeljku raditi na složenijim problemima, uključujući trinome koji počinju izrazima poput 6x² ili -x². U međuvremenu slijedite ova uzorna pitanja.

Korak 5. Upotrijebite faktoring da pogodite posljednje pojmove

Ako se vratite natrag i pročitate korake za množenje PLDT -a, vidjet ćete da će množenjem posljednjih pojmova nastati zadnji izraz u polinomu (pojmovi koji nemaju x). Dakle, da bismo uzeli faktor, moramo pronaći dva broja koji će, kada se pomnože, proizvesti posljednji član.

U našem primjeru x² + 3x - 10, posljednji termin je -10.
Koji su faktori -10? Koji se broj pomnoži sa -10?
Postoji nekoliko mogućnosti: -1 puta 10, 1 puta -10, -2 puta 5 ili 2 puta -5. Zapišite ove parove negdje kako biste ih se sjetili.
Nemojte još mijenjati naš odgovor. Naš bi odgovor ipak trebao izgledati ovako: (x _) (x _).

Korak 6. Testirajte mogućnosti koje odgovaraju vanjskom i unutarnjem proizvodu

Suzili smo posljednje pojmove na nekoliko mogućnosti. Upotrijebite probni sustav za testiranje svake mogućnosti, množenjem vanjskih i unutarnjih pojmova te usporedbom proizvoda s našim trinomom. Na primjer:

Naš izvorni problem imao je izraz "x" na 3x, pa bi se naši rezultati ispitivanja trebali podudarati s tim izrazom.
Testovi -1 i 10: (x -1) (x+10). Izvana + Unutra = 10x - x = 9x. Pogrešno.
Testovi 1 i -10: (x+1) (x -10). -10x + x = -9x. To je pogrešno. Zapravo, ako testirate -1 i 10, otkrit ćete da su 1 i -10 suprotni od gornjeg odgovora: -9x umjesto 9x.
Testovi -2 i 5: (x -2) (x+5). 5x - 2x = 3x. Rezultat odgovara početnom polinomu, pa evo točnog odgovora: (x-2) (x+5).
U jednostavnim slučajevima poput ovog, ako nemate konstantu ispred izraza x², možete koristiti brzi način: samo zbrojite dva faktora i stavite "x" iza njega (-2+5 → 3x). Međutim, ova metoda ne radi za složenije probleme, pa je bolje zapamtiti gore opisani "dugačak put".

Metoda 2 od 3: Faktoriziranje složenijih trinoma

Korak 1. Pomoću jednostavnog faktoringa pojednostavnite složenije probleme

Na primjer, morate uzeti u obzir 3x² + 9x - 30. Pronađite broj koji može faktorirati sva tri pojma ("najveći zajednički faktor" ili GCF). U ovom slučaju, GCF je 3:

3x² = (3) (x²)
9x = (3) (3x)
-30 = (3)(-10)
Dakle, 3x² + 9x - 30 = (3) (x²+3x-10). Novi trinom možemo izlučiti pomoću koraka u gornjem odjeljku. Naš konačni odgovor bit će (3) (x-2) (x+5).

Korak 2. Potražite složenije čimbenike

Ponekad faktoring može uključivati varijablu ili ćete morati faktoriti nekoliko puta da biste pronašli najjednostavniji mogući izraz. Evo nekoliko primjera:

2x²y + 14xy + 24y = (2 g)(x² + 7x + 12)
x⁴ + 11x³ - 26x² = (x²)(x² +11x - 26)
-x² + 6x - 9 = (-1)(x² - 6x + 9)
Ne zaboravite preinačiti novi trinom, koristeći korake iz Metode 1. Provjerite svoj rad i potražite primjere sličnih problema u uzorcima pitanja pri dnu ove stranice.

Korak 3. Riješite probleme s brojem ispred x².

Neki se kvadratni trinomi ne mogu svesti na najlakši tip problema. Naučite rješavati probleme poput 3x² + 10x + 8, a zatim vježbajte sami s uzorcima pitanja pri dnu ove stranice:

Postavite naš odgovor na: (_ _)(_ _)
Naši "prvi" izrazi imat će svaki po jedan x, a množenjem ih dobijemo 3x². Postoji samo jedna mogućnost: (3x _) (x _).
Navedite čimbenike 8. Izgledi su 1 puta 8 ili 2 puta 4.
Testirajte ovu mogućnost pomoću vanjskog i unutarnjeg izraza. Imajte na umu da je redoslijed faktora vrlo važan jer se vanjski pojam množi s 3x umjesto x. Isprobajte sve mogućnosti dok ne izađete Out+In = 10x (iz izvornog problema):
(3x+1) (x+8) → 24x+x = 25x Ne
(3x+8) (x+1) → 3x+8x = 11x Ne
(3x+2) (x+4) → 12x+2x = 14x Ne
(3x+4) (x+2) → 6x+4x = 10x Da. Ovo je ispravan faktor.

Korak 4. Upotrijebite zamjenu za trinome višeg reda

Vaša matematička knjiga mogla bi vas iznenaditi jednadžbama velikih moći, poput x⁴, čak i nakon što jednostavnim faktoringom olakšate problem. Pokušajte zamijeniti novu varijablu koja je pretvara u problem koji znate riješiti. Na primjer:

x⁵+13x³+36x
= (x) (x⁴+13x²+36)
Kreirajmo novu varijablu. Recimo y = x² i stavi u njega:
(x) (y²+13y+36)
= (x) (y+9) (y+4). Sada ga vratite u početnu varijablu:
= (x) (x²+9) (x²+4)
= (x) (x ± 3) (x ± 2)

Metoda 3 od 3: Faktoring posebnih slučajeva

Korak 1. Pronađite proste brojeve

Pogledajte je li konstanta u prvom ili trećem članu trinoma prost broj. Prosti broj je djeljiv samo sa sobom i 1, pa postoji samo jedan mogući par binomskih faktora.

Na primjer, u x² + 6x + 5, 5 je prost broj, pa binom mora biti oblika (_ 5) (_ 1).
U problemu 3x²+10x+8, 3 je prost broj, pa binom mora biti oblika (3x _) (x _).
Za pitanja 3x²+4x+1, i 3 i 1 su prosti brojevi, pa je jedino moguće rješenje (3x+1) (x+1). (Trebali biste i dalje pomnožiti ovaj broj da provjerite svoj odgovor jer se neki izrazi uopće ne mogu uzeti u obzir - na primjer, 3x²+100x+1 nema faktor.)

Korak 2. Saznajte je li trinom savršen kvadrat

Savršeni kvadratni trinom može se podijeliti na dva identična binoma, a faktor se obično zapisuje kao (x+1)² a ne (x+1) (x+1). Evo nekoliko primjera koji se često pojavljuju u pitanjima:

x²+2x+1 = (x+1)², i x²-2x+1 = (x-1)²
x²+4x+4 = (x+2)², i x²-4x+4 = (x-2)²
x²+6x+9 = (x+3)², i x²-6x+9 = (x-3)²
Savršeni kvadratni trinom u obliku a x² + bx + c uvijek ima članove a i c koji su pozitivni savršeni kvadrati (poput 1, 4, 9, 16 ili 25) i jedan član b (pozitivan ili negativan) koji je jednak 2 (√a * √c).

Korak 3. Saznajte ako problem nema rješenje

Ne mogu se uzeti u obzir svi trinomi. Ako ne možete faktoriti kvadratni trinom (ax²+bx+c), upotrijebite kvadratnu formulu da pronađete odgovor. Ako je jedini odgovor kvadratni korijen negativnog broja, nema rješenja realnog broja, onda problem nema faktora.

Za kvadratne trinome upotrijebite Eisensteinov kriterij koji je opisan u odjeljku Savjeti

Odgovori i primjeri pitanja

Odgovori na pitanja o "kompliciranom faktoringu".

To su pitanja iz koraka "složeniji čimbenici". Pojednostavili smo probleme u lakše, pa ih pokušajte riješiti pomoću koraka u 1. metodi, a zatim provjerite svoj rad ovdje:
- (2y) (x² + 7x + 12) = (x+3) (x+4)
- (x²)(x² + 11x - 26) = (x+13) (x-2)
- (-1) (x² -6x + 9) = (x-3) (x-3) = (x-3)²
Pokušajte sa složenijim faktoring problemima.

Ti problemi imaju isti faktor u svakom pojmu koji se prvo mora uzeti u obzir. Blokirajte prazna polja nakon znaka jednakosti da biste vidjeli odgovore kako biste mogli provjeriti svoj rad:
- 3x³+3x²-6x = (3x) (x+2) (x-1) blokirajte prazno polje da biste vidjeli odgovor
- -5x³y²+30x²y²-25g²x = (-5xy^2) (x-5) (x-1)
Vježbajte koristiti pitanja. Ovi se problemi ne mogu ubrojiti u lakše jednadžbe, pa ćete morati pronaći odgovor u obliku (_x + _) (_ x + _) pomoću pokušaja i pogreške:
- 2x²+3x-5 = (2x+5) (x-1) blok da vidite odgovor
- 9x²+6x+1 = (3x+1) (3x+1) = (3x+1)² (Savjet: Možda biste htjeli isprobati više od jednog para faktora za 9x.)
Savjeti
- Ako ne možete shvatiti kako faktorirati kvadratni trinom (sjekira)²+bx+c), pomoću kvadratne formule možete pronaći x.
- Iako ne morate znati kako to učiniti, možete upotrijebiti Eisensteinove kriterije za brzo utvrđivanje ne može li se polinom pojednostaviti i uzeti u obzir. Ovaj se kriterij primjenjuje na bilo koji polinom, ali se najbolje koristi za trinome. Ako postoji prost broj p koji ravnomjerno dijeli zadnja dva člana i zadovoljava sljedeće uvjete, tada se polinom ne može pojednostaviti:
  - Konstantni pojmovi (bez varijabli) su višekratnici p, ali nisu višekratnici p².
  - Prefiks (na primjer, a u sjekiri²+bx+c) nije višekratnik p.
  - Na primjer, 14x² +45x +51 ne može se pojednostaviti jer postoji prost broj (3) koji se može dijeliti i s 45 i s 51, ali nije djeljiv s 14, a 51 nije djeljiv s 3².
Upozorenje

Iako to vrijedi za kvadratne trinome, trinom koji se može faktorirati nije nužno proizvod dva binoma. Na primjer, x⁴ + 105x + 46 = (x² + 5x + 2) (x² - 5x + 23).