6 načina za faktoring polinoma drugog stupnja (kvadratne jednadžbe)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-19 22:12

Polinom sadrži varijablu (x) s stepenom, poznatim kao stupanj, te nekoliko izraza i/ili konstanti. Faktorizirati polinom znači razbiti jednadžbu u jednostavnije jednadžbe koje se mogu pomnožiti. Ova vještina je u Algebri 1 i više, pa ju je možda teško shvatiti ako vaše matematičke vještine nisu na ovoj razini.

Korak

Početak

Korak 1. Postavite svoju jednadžbu

Standardni format za kvadratnu jednadžbu je:

sjekira² + bx + c = 0

Počnite tako da poredate izraze u svojoj jednadžbi od najveće do najniže snage, baš kao u ovom standardnom formatu. Na primjer:

6 + 6x² + 13x = 0

Promijenit ćemo ovu jednadžbu tako da je lakše raditi jednostavnim premještanjem pojmova:

6x² + 13x + 6 = 0

Korak 2. Pronađite faktor veličine pomoću jedne od sljedećih metoda

Faktoriziranje polinoma rezultira u dvije jednostavnije jednadžbe koje se mogu pomnožiti da bi se dobio izvorni polinom:

6x² + 13x + 6 = (2x + 3) (3x + 2)

U ovom primjeru, (2x + 3) i (3x + 2) su čimbenici izvorne jednadžbe, 6x² +13x+6.

Korak 3. Provjerite svoj rad

Pomnožite čimbenike koje imate. Zatim spojite slične izraze i gotovi ste. Početi sa:

(2x + 3) (3x + 2)

Pokušajmo pomnožiti pojmove pomoću PLDT -a (prvi - izvana - iznutra - zadnji), što rezultira:

6x² + 4x + 9x + 6

Odavde možemo zbrojiti 4x i 9x jer su poput izraza. Znamo da su naši čimbenici točni jer dobivamo izvornu jednadžbu:

6x² + 13x + 6

Metoda 1 od 6: Pokušaj i pogreška

Ako imate prilično jednostavan polinom, možda ćete sami moći pronaći faktore samo ih gledajući. Na primjer, nakon vježbe mnogi matematičari mogu shvatiti da je jednadžba 4x² + 4x + 1 ima faktor (2x + 1) i (2x + 1) samo ako ga često gledate. (To naravno neće biti lako za složenije polinome). Za ovaj primjer, upotrijebimo rjeđe korištenu jednadžbu:

3x² + 2x - 8

Korak 1. Napišite popis faktora pojma a i pojma c

Koristeći format jednadžbe sjekire² + bx + c = 0, identificirajte pojmove a i c i zapišite faktore koji imaju oba pojma. Za 3x² + 2x - 8, što znači:

a = 3 i ima niz faktora: 1 * 3

c = -8 i ima četiri skupa faktora: -2 * 4, -4 * 2, -8 * 1 i -1 * 8.

Korak 2. Zapišite dva skupa zagrada s praznim razmacima

Ispunit ćete praznine koje ste stvorili konstantama za svaku jednadžbu:

(x) (x)

Korak 3. Ispunite praznine ispred x mogućim parovima faktora za vrijednost a

Za pojam a u našem primjeru 3x², za naš primjer postoji samo jedna mogućnost:

(3x) (1x)

Korak 4. Popunite dvije praznine iza x parovima faktora za konstantu

Pretpostavimo da odaberemo 8 i 1. Napišite u njih:

(3x

Korak 8.)(

Korak 1

Korak 5. Odredite znak (plus ili minus) između varijable x i broja

Ovisno o predznacima u izvornoj jednadžbi, možda će biti moguće tražiti znakove za konstante. Pretpostavimo da nazivamo dvije konstante h i k za svoja dva faktora:

Ako sjekira² + bx + c tada (x + h) (x + k)

Ako sjekira² - bx - c ili sjekira² + bx - c tada (x - h) (x + k)

Ako sjekira² - bx + c tada (x - h) (x - k)

Za naš primjer, 3x² + 2x - 8, znakovi su: (x - h) (x + k), dajući nam dva faktora:

(3x + 8) i (x - 1)

Korak 6. Testirajte svoje izbore pomoću množenja prvi-na-posljednji (PLDT)

Prvi brzi test je provjeriti ima li srednji termin barem točnu vrijednost. Ako niste, možda ste odabrali pogrešne c faktore. Testirajmo naš odgovor:

(3x + 8) (x - 1)

Množenjem dobivamo:

3x² - 3x + 8x - 8

Pojednostavljujući ovu jednadžbu dodavanjem sličnih pojmova (-3x) i (8x), dobivamo:

3x² - 3x + 8x - 8 = 3x² + 5x - 8

Sada znamo da smo morali koristiti pogrešne čimbenike:

3x² + 5x - 8 3x² + 2x - 8

Korak 7. Promijenite svoj odabir ako je potrebno

U našem primjeru pokušajmo 2 i 4 umjesto 1 i 8:

(3x + 2) (x - 4)

Sada je naš c izraz -8, ali naš vanjski/unutarnji proizvod (3x * -4) i (2 * x) je -12x i 2x, što zajedno neće proizvesti ispravan izraz b +2x.

-12x + 2x = 10x

10x 2x

Korak 8. Promijenite redoslijed ako je potrebno

Pokušajmo zamijeniti 2 i 4:

(3x + 4) (x - 2)

Sada je naš c izraz (4 * 2 = 8) točan, ali vanjski/unutarnji proizvod je -6x i 4x. Ako ih spojimo:

-6x + 4x = 2x

2x -2x Prilično smo blizu 2x koje tražimo, ali znak je pogrešan.

Korak 9. Dvaput provjerite oznake ako je potrebno

Koristit ćemo isti redoslijed, ali zamijenimo jednadžbe sa znakom minus:

(3x - 4) (x + 2)

Sada izraz c nije problem, a trenutni vanjski/unutarnji proizvod je (6x) i (-4x). Jer:

6x - 4x = 2x

2x = 2x Sada možemo koristiti pozitivne 2x iz izvornog problema. To moraju biti ispravni čimbenici.

Metoda 2 od 6: Razlaganje

Ova će metoda identificirati sve moguće čimbenike pojmova a i c i koristiti ih za pronalaženje ispravnih čimbenika. Ako su brojevi preveliki ili vam nagađanje oduzima puno vremena, upotrijebite ovu metodu. Upotrijebimo primjer:

6x² + 13x + 6

Korak 1. Pomnožite a sa izrazom c

U ovom primjeru a je 6, a c je također 6.

6 * 6 = 36

Korak 2. Dobijte pojam b faktoringom i testiranjem

Tražimo dva broja koji su čimbenici proizvoda a * c koje smo identificirali i također zbrajamo pojam b (13).

4 * 9 = 36

4 + 9 = 13

Korak 3. Zamijenite dva broja koja dobijete u svojoj jednadžbi kao rezultat zbrajanja člana b

Upotrijebimo k i h za predstavljanje dva broja koja imamo, 4 i 9:

sjekira² + kx + hx + c

6x² + 4x + 9x + 6

Korak 4. Faktor polinoma razvrstajte u skupine

Jednadžbe rasporedite tako da možete uzeti najveći zajednički faktor prvog i drugog člana. Skupina čimbenika mora biti ista. Dodajte najveći zajednički faktor i stavite ga u zagrade pored grupe čimbenika; rezultat su vaša dva faktora:

6x² + 4x + 9x + 6

2x (3x + 2) + 3 (3x + 2)

(2x + 3) (3x + 2)

Metoda 3 od 6: Trostruka igra

Slično metodi razlaganja, metoda trostruke igre ispituje moguće faktore množenja pojmova a i c i korištenja vrijednosti b. Pokušajte upotrijebiti ovu primjeru jednadžbe:

8x² + 10x + 2

Korak 1. Pomnožite a sa izrazom c

Poput metode raščlanjivanja, ovo će nam pomoći u identificiranju kandidata za pojam b. U ovom primjeru a je 8, a c je 2.

8 * 2 = 16

Korak 2. Pronađite dva broja koja, pomnožena s brojevima, proizvode taj broj s ukupnim zbrojem jednakim članu b

Ovaj korak je isti kao i raščlanjivanje - testiramo i odbacujemo kandidate za konstantu. Produkt pojmova a i c je 16, a izraz c je 10:

2 * 8 = 16

8 + 2 = 10

Korak 3. Uzmite ova dva broja i testirajte ih uključivanjem u formulu trostruke reprodukcije

Uzmimo naša dva broja iz prethodnog koraka - nazovimo ih h i k - i uključimo ih u jednadžbu:

((ax + h) (ax + k))/ a

Dobit ćemo:

((8x + 8) (8x + 2)) / 8

Korak 4. Uočite je li bilo koji od dva pojma u brojniku djeljiv sa

U ovom primjeru vidjeli smo je li (8x + 8) ili (8x + 2) djeljivo sa 8. (8x + 8) je djeljivo s 8, pa ćemo ovaj pojam podijeliti s a, a ostale čimbenike ostaviti na miru.

(8x + 8) = 8 (x + 1)

Ovdje je pojam u zagradama ono što ostaje nakon što podijelimo izraz a.

Korak 5. Uzmite najveći zajednički faktor (GCF) jednog ili oba izraza, ako ih ima

U ovom primjeru, drugi izraz, ima GCF 2, jer je 8x + 2 = 2 (4x + 1). Kombinirajte ovaj rezultat s izrazom koji ste dobili iz prethodnog koraka. To su čimbenici u vašoj jednadžbi.

2 (x + 1) (4x + 1)

Metoda 4 od 6: Razlika kvadratnih korijena

Neki koeficijenti u polinomima mogu biti 'kvadrati' ili proizvod dva broja. Identificiranje ovih kvadrata omogućuje vam brže faktoriranje više polinoma. Isprobajte ovu jednadžbu:

27x² - 12 = 0

Korak 1. Izvadite najveći zajednički faktor ako je moguće

U ovom slučaju možemo vidjeti da su 27 i 12 djeljive sa 3, pa dobivamo:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4)

Korak 2. Odredite jesu li koeficijenti vaše jednadžbe kvadratni brojevi

Da biste koristili ovu metodu, morate moći uzeti kvadratni korijen oba pojma. (Imajte na umu da ćemo zanemariti negativni predznak - budući da su ti brojevi kvadrati, oni mogu biti proizvod dva pozitivna ili negativna broja)

9x² = 3x * 3x i 4 = 2 * 2

Korak 3. Koristeći kvadratni korijen koji imate, zapišite faktore

Vrijednosti a i c uzeti ćemo iz gore navedenog koraka - a = 9 i c = 4, zatim pronaći kvadratni korijen - a = 3 i c = 2. Rezultat je koeficijent faktorske jednadžbe:

27x² - 12 = 3 (9x² - 4) = 3 (3x + 2) (3x - 2)

Metoda 5 od 6: Kvadratna formula

Ako sve ostalo ne uspije i jednadžba se ne može cijelom ubrojiti, upotrijebite kvadratnu formulu. Isprobajte ovaj primjer:

x² + 4x + 1 = 0

Korak 1. Unesite potrebne vrijednosti u kvadratnu formulu:

x = -b ± (b² - 4 ac)

2a

Dobivamo jednadžbu:

x = -4 ± (4² - 4•1•1) / 2

Korak 2. Pronađite vrijednost x

Dobit ćete dvije vrijednosti. Kao što je gore prikazano, dobivamo dva odgovora:

x = -2 + (3) ili x = -2 -(3)

Korak 3. Upotrijebite svoju vrijednost x da biste pronašli čimbenike

Uključite x vrijednosti koje imate u dvije polinomske jednadžbe kao konstante. Rezultat su vaši čimbenici. Ako svoje odgovore nazivamo h i k, zapisujemo dva faktora na sljedeći način:

(x - h) (x - k)

U ovom primjeru naš konačni odgovor je:

(x - (-2 + (3)) (x - (-2 - (3)) = (x + 2 - (3)) (x + 2 + (3))

Metoda 6 od 6: Korištenje kalkulatora

Ako vam je dopušteno koristiti kalkulator, grafički kalkulator uvelike olakšava proces faktoringa, posebno za standardizirane testove. Ove upute su za grafički kalkulator TI. Koristit ćemo primjer jednadžbe:

y = x² x 2

Korak 1. Unesite svoju jednadžbu u kalkulator

Koristit ćete faktoring jednadžbe koja je napisana [Y =] na ekranu.

Korak 2. Iscrtajte svoju jednadžbu pomoću kalkulatora

Kada unesete svoju jednadžbu, pritisnite [GRAPH] - vidjet ćete glatku krivulju koja predstavlja vašu jednadžbu (a oblik je krivulja jer koristimo polinome).

Korak 3. Pronađite mjesto gdje se krivulja siječe s osi x

Budući da se polinomske jednadžbe obično pišu kao sjekira² + bx + c = 0, ovo sjecište je druga vrijednost x zbog koje je jednadžba nula:

(-1, 0), (2, 0)

x = -1, x = 2

Ako ne možete prepoznati gdje se graf presijeca s osi x gledajući ga, pritisnite [2.], a zatim [TRACE]. Pritisnite [2] ili odaberite nulu. Pomaknite kursor lijevo od raskrižja i pritisnite [ENTER]. Pomaknite kursor desno od raskrižja i pritisnite [ENTER]. Pomaknite kursor što je moguće bliže raskrižju i pritisnite [ENTER]. Kalkulator će pronaći vrijednost x. Učinite to i za druga raskrižja

Korak 4. Uključite vrijednost x dobivenu u prethodnom koraku u dvije faktorske jednadžbe

Kad bismo imenovali obje naše x vrijednosti h i k, jednadžbe koje bismo koristili bile bi:

(x - h) (x - k) = 0

Dakle, naša dva faktora su:

(x - (-1)) (x - 2) = (x + 1) (x - 2)

Savjeti

• Ako imate kalkulator (grafikon) TI-84, postoji program pod nazivom SOLVER koji će riješiti vaše kvadratne jednadžbe. Ovaj će program riješiti polinome bilo kojeg stupnja.
• Ako pojam nije napisan, koeficijent je 0. Bilo bi korisno prepisati jednadžbu ako je to slučaj, na primjer: x² + 6 = x² +0x+6.
• Ako ste ubrojili svoj polinom pomoću kvadratne formule i dobili odgovor u smislu korijena, možda ćete htjeti vrijednost x pretvoriti u razlomak za provjeru.
• Ako pojam nema zapisani koeficijent, koeficijent je 1, na primjer: x² = 1x².
• Nakon dovoljno vježbe, na kraju ćete moći razgraditi polinome u glavi. Dok to ne uspijete, uvijek zapišite upute.