Kako nacrtati kvadratni grafikon: 10 koraka (sa slikama)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-02-01 14:13

Kad je grafički prikazana, kvadratna jednadžba ima oblik sjekira² + bx + c ili a (x - h)² + k tvore slovo U ili obrnutu U krivulju koja se naziva parabola. Grafikovanjem kvadratne jednadžbe traži se vrh, smjer, a često i sjecište x i y. U slučajevima prilično jednostavnih kvadratnih jednadžbi, unos skupa vrijednosti x i crtanje krivulje na temelju rezultirajućih točaka mogu biti dovoljni. Za početak pogledajte donji korak 1.

Korak

Korak 1. Odredite oblik kvadratne jednadžbe koju imate

Kvadratne jednadžbe mogu se napisati u tri različita oblika: opći oblik, oblik tjemena i kvadratni oblik. Za iscrtavanje kvadratne jednadžbe možete koristiti bilo koji oblik; postupak prikaza svakog grafikona je malo drugačiji. Ako radite domaću zadaću, obično ćete primati pitanja u jednom od ova dva oblika - drugim riječima, nećete moći birati, pa je najbolje razumjeti oboje. Dva oblika kvadratne jednadžbe su:

• Opći oblik.

  U ovom obliku, kvadratna jednadžba je zapisana kao: f (x) = ax² + bx + c gdje su a, b i c realni brojevi i a nije nula.

  Na primjer, dvije kvadratne jednadžbe općeg oblika su f (x) = x² + 2x + 1 i f (x) = 9x² + 10x -8.

• Vršni oblik.

  U ovom obliku kvadratna jednadžba je zapisana kao: f (x) = a (x - h)² + k gdje su a, h i k stvarni brojevi i a nije nula. Zove se oblik vrha jer će h i k odmah dati vrh (sredinu) vaše parabole u točki (h, k).

  Dvije jednadžbe oblika vrha su f (x) = 9 (x - 4)² + 18 i -3 (x - 5)² + 1

• Da bismo iscrtali bilo koju vrstu jednadžbe, prvo moramo pronaći vrh parabole, koja je sredina (h, k) na kraju krivulje. Koordinate vrhova u općem obliku izračunavaju se kao: h = -b/2a i k = f (h), dok su u obliku vrha h i k u jednadžbi.

Korak 2. Definirajte svoje varijable

Kako bi se riješio kvadratni problem, obično se moraju definirati varijable a, b i c (ili a, h i k). Uobičajeni problem algebre dati će kvadratnu jednadžbu s dostupnim varijablama, obično u općenitom obliku, ali ponekad u vršnom obliku.

• Na primjer, za jednadžbu općeg oblika f (x) = 2x² + 16x + 39, imamo a = 2, b = 16 i c = 39.
• Za jednadžbu oblika vrha f (x) = 4 (x - 5)² + 12, imamo a = 4, h = 5 i k = 12.

Korak 3. Izračunajte h

U jednadžbi oblika vrha vaša je vrijednost h već dana, ali u općoj jednadžbi oblika vrijednost h se mora izračunati. Zapamtite da je za jednadžbe općeg oblika h = -b/2a.

• U našem primjeru općeg oblika (f (x) = 2x² + 16x + 39), h = -b/2a = -16/2 (2). Nakon rješavanja nalazimo da je h = - 4.
• U našem primjeru oblika vrha (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), znamo da je h = 5 bez ikakve matematike.

Korak 4. Izračunajte k

Kao i h, k je već poznato u jednadžbi oblika vrha. Za jednadžbe općeg oblika zapamtite da je k = f (h). Drugim riječima, k možete pronaći zamjenom svih x vrijednosti u vašoj jednadžbi s h vrijednostima koje ste upravo pronašli.

• Već smo u općem primjeru utvrdili da je h = -4. Da bismo pronašli k, rješavamo našu jednadžbu dodavanjem naše vrijednosti h umjesto x:

  • k = 2 (-4)² + 16(-4) + 39.
  • k = 2 (16) - 64 + 39.

  • k = 32 - 64 + 39 =

    Korak 7.

• U našem primjeru vršne forme opet znamo vrijednost k (koja je 12) bez ikakvog izračunavanja.

Korak 5. Nacrtajte svoj vrhunac

Vrh vaše parabole je točka (h, k)-h predstavlja x-koordinatu, dok k predstavlja y-koordinatu. Vrh je središnja točka vaše parabole - bilo na dnu U ili na vrhu obrnutog U. Poznavanje vrhova važan je dio crtanja precizne parabole - često je u školskim zadaćama određivanje vrha dio koji treba tražiti u pitanju.

• U našem primjeru općeg oblika, naš vrhunac je (-4, 7). Tako će naša parabola kulminirati 4 koraka ulijevo od 0 i 7 koraka iznad (0, 0). Moramo prikazati ovu točku u našem grafikonu, pazeći da označimo koordinate.
• U našem primjeru oblika vrha, naše je vrhovo (5, 12). Moramo povući točku 5 koraka udesno i 12 koraka iznad (0, 0).

Korak 6. Nacrtajte os parabole (izborno)

Os simetrije parabole je linija koja prolazi kroz njeno središte, dijeleći je točno u sredini. Na ovoj osi lijeva strana parabole odrazit će desnu stranu. Za kvadratne jednadžbe u obliku ax² + bx + c ili a (x - h)² + k, os simetrije je linija koja je paralelna s osi y (drugim riječima, točno okomita) i prolazi kroz tjeme.

U slučaju našeg primjera općeg oblika, os je linija paralelna s osi y i prolazi kroz točku (-4, 7). Iako nije dio parabole, tanko označavanje ove crte na grafikonu na kraju će vam pomoći da vidite simetrični oblik krivulje parabole

Korak 7. Pronađite smjer otvaranja parabole

Nakon što znamo vrh i os parabole, sljedeće moramo znati otvara li se parabola prema gore ili prema dolje. Srećom, to je lako. Ako je vrijednost a pozitivna, parabola će se otvoriti prema gore, dok ako je vrijednost a negativna, parabola će se otvoriti prema dolje (tj. Parabola će biti obrnuta).

• Za naš opći primjer primjera (f (x) = 2x² + 16x + 39), znamo da imamo parabolu koja se otvara jer je u našoj jednadžbi a = 2 (pozitivno).
• Za naš primjer oblika vrha (f (x) = 4 (x - 5)² + 12), znamo da imamo i parabolu koja se otvara jer je a = 4 (pozitivno).

Korak 8. Ako je potrebno, pronađite i nacrtajte presjek x

Često će vas u školskim zadacima od vas tražiti da pronađete presjek x u paraboli (što je jedna ili dvije točke gdje se parabola susreće s osi x). Čak i ako je ne pronađete, ove su dvije točke vrlo važne za crtanje precizne parabole. Međutim, nemaju sve parabole presjek x. Ako vaša parabola ima vrh koji se otvara, a vrh mu je iznad osi x ili ako se otvara prema dolje, a vrh mu je ispod osi x, parabola neće imati presjek x. U protivnom riješite presretanje x-a na jedan od sljedećih načina:

• Samo napravite f (x) = 0 i riješite jednadžbu. Ova se metoda može koristiti za jednostavne kvadratne jednadžbe, osobito u obliku vrha, ali će biti vrlo teška za složene jednadžbe. Za primjer pogledajte dolje

  • f (x) = 4 (x - 12)² - 4
  • 0 = 4 (x - 12)² - 4
  • 4 = 4 (x - 12)²
  • 1 = (x - 12)²
  • Korijen (1) = (x - 12)
  • +/- 1 = x -12. x = 11 i 13 je presjek x u paraboli.

• Uzmite u obzir jednadžbu. Neke jednadžbe u obliku ax² + bx + c može se lako uvrstiti u oblik (dx + e) (fx + g), gdje je dx × fx = ax², (dx × g + fx × e) = bx, i e × g = c. U ovom slučaju, vaši presjeci x predstavljaju x vrijednosti koje će svaki izraz u zagradama učiniti = 0. Na primjer:

  • x² + 2x + 1
  • = (x + 1) (x + 1)
  • U ovom slučaju, vaš jedini presjek x je -1 jer će x biti jednako -1 i tako će svaki faktor faktor u zagradama biti jednak 0.

• Koristite kvadratnu formulu. Ako ne možete lako riješiti presretanje x-a ili faktorirati svoju jednadžbu, upotrijebite posebnu jednadžbu koja se naziva kvadratna formula koja je stvorena u tu svrhu. Ako još nije riješeno, pretvorite svoju jednadžbu u oblik ax² + bx + c, zatim unesite a, b i c u formulu x = (-b +/- sqrt (b)² - 4ac))/2a. Imajte na umu da vam ova metoda često daje dva odgovora za vrijednost x, što je u redu-to samo znači da vaša parabola ima dva presjeka x. Primjer pogledajte u nastavku:

  • -5x² + 1x + 10 stavlja se u kvadratnu formulu ovako:
  • x = (-1 +/- Korijen (1.)² - 4(-5)(10)))/2(-5)
  • x = (-1 +/- Korijen (1 + 200))/-10
  • x = (-1 +/- Korijen (201))/-10
  • x = (-1 +/- 14, 18)/-10
  • x = (13, 18/-10) i (-15, 18/-10). Presjek x u paraboli je x = - 1, 318 i 1, 518
  • Naš prethodni primjer općeg oblika, 2x² +16x+39 stavlja se u kvadratnu formulu na sljedeći način:
  • x = (-16 +/- Korijen (16² - 4(2)(39)))/2(2)
  • x = (-16 +/- Root (256- 312))/4
  • x = (-16 +/- Korijen (-56)/-10
  • Budući da je nemoguće pronaći kvadratni korijen negativnog broja, znamo da je ta parabola nema x-presretanje.

Korak 9. Ako je potrebno, pronađite i nacrtajte y-presjek

Iako često nije potrebno tražiti y-presjek u jednadžbama (točka u kojoj parabola prolazi kroz y-os), možda ćete ga na kraju morati pronaći, osobito ako ste u školi. Postupak je prilično jednostavan-samo napravite x = 0, a zatim riješite svoju jednadžbu za f (x) ili y, koja daje vrijednost y gdje vaša parabola prolazi kroz y-os. Za razliku od presjecanja x, regularna parabola može imati samo jedan presjek y. Napomena-za jednadžbe općeg oblika, presjek y je na y = c.

• Na primjer, znamo da je naša kvadratna jednadžba 2x² + 16x + 39 ima presjek y pri y = 39, ali se može pronaći i na sljedeći način:

  • f (x) = 2x² +16x+39
  • f (x) = 2 (0)² + 16(0) + 39

  • f (x) = 39. Y-presjek parabole je na y = 39.

    Kao što je gore navedeno, y-presjek je na y = c.

• Oblik naše jednadžbe vrhova je 4 (x - 5)² + 12 ima presjek y koji se može pronaći na sljedeći način:

  • f (x) = 4 (x - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (0 - 5)² + 12
  • f (x) = 4 (-5)² + 12
  • f (x) = 4 (25) + 12

  • f (x) = 112. Y-presjek parabole je na y = 112.

Korak 10. Ako je potrebno, nacrtajte dodatne točke, a zatim nacrtajte grafikon

Sada u vašoj jednadžbi imate vrh, smjer, x-presretanje i, eventualno, y-presretanje. U ovoj fazi možete pokušati nacrtati svoju parabolu koristeći točke koje imate kao vodič ili potražite druge točke koje će ispuniti vašu parabolu kako bi krivulja koju nacrtate bila preciznija. Najlakši način za to je da jednostavno unesete neke x-vrijednosti u bilo koju stranu vašeg vrha, a zatim iscrtate ove točke pomoću y-vrijednosti koje dobijete. Često vas učitelji mole da prije crtanja parabole potražite nekoliko točaka.

• Pogledajmo jednadžbu x² + 2x + 1. Već znamo da je presjek x samo pri x = -1. Budući da krivulja samo u jednom trenutku dodiruje presjek x, možemo zaključiti da je vrh njegov presjek x, što znači da je vrh (-1, 0). Za ovu parabolu zapravo imamo samo jedan bod - nedovoljan za crtanje dobre parabole. Potražimo neke druge točke kako bismo bili sigurni da smo nacrtali temeljit graf.

  • Pronađimo y vrijednosti za sljedeće x vrijednosti: 0, 1, -2 i -3.
  • Za 0: f (x) = (0)² + 2 (0) + 1 = 1. Naša je točka (0, 1).

  • Za 1: f (x) = (1)² + 2 (1) + 1 = 4. Naša je točka (1, 4).

  • Za -2: f (x) = (-2)² + 2 (-2) + 1 = 1. Naša je točka (-2, 1).

  • Za -3: f (x) = (-3)² + 2 (-3) + 1 = 4. Naša točka je (-3, 4).

  • Nacrtajte ove točke na grafikonu i nacrtajte svoju krivulju u obliku slova U. Imajte na umu da je parabola savršeno simetrična - kada su vaše točke s jedne strane parabole cijeli brojevi, obično možete smanjiti rad jednostavnog odražavanja određene točke na osi simetrije parabole kako biste pronašli istu točku s druge strane parabole.

Savjeti

• Zaokružite brojeve ili koristite razlomke prema zahtjevu učitelja algebre. To će vam pomoći da bolje iscrtate kvadratnu jednadžbu.
• Uočimo da je u f (x) = ax² + bx + c, ako je b ili c jednako nuli, ti će brojevi nestati. Na primjer, 12x² + 0x + 6 postaje 12x² + 6 jer je 0x 0.