3 načina rješavanja logaritama

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-15 08:16

Logaritmi se mogu činiti teškim za rješavanje, ali rješavanje problema logaritma zapravo je puno jednostavnije nego što mislite, jer su logaritmi samo još jedan način pisanja eksponencijalnih jednadžbi. Nakon što prepišete logaritam u poznatiji oblik, trebali biste ga moći riješiti kao i bilo koju drugu običnu eksponencijalnu jednadžbu.

Korak

Prije nego počnete: Naučite izraziti logaritamske jednadžbe eksponencijalno

Korak 1. Shvatite definiciju logaritma

Prije nego riješite logaritamske jednadžbe, morate shvatiti da su logaritmi u osnovi drugi način pisanja eksponencijalnih jednadžbi. Točna definicija je sljedeća:

• y = zapisnik_b (x)

  Ako i samo ako: b^y = x

• Upamtite da je b baza logaritma. Ova vrijednost mora zadovoljiti sljedeće uvjete:

  • b> 0
  • b nije jednako 1
• U jednadžbi je y eksponent, a x rezultat izračunavanja eksponencijalne vrijednosti tražene u logaritmu.

Korak 2. Razmotrimo logaritamsku jednadžbu

Kada gledate jednadžbu problema, potražite bazu (b), eksponent (y) i eksponencijal (x).

• Primjer:

  5 = zapisnik₄(1024)

  • b = 4
  • y = 5
  • x = 1024

Korak 3. Pomaknite eksponencijal na jednu stranu jednadžbe

Premjestite vrijednost svoje eksponencije, x, na jednu stranu znaka jednakosti.

• Na primjer:

  1024 = ?

Korak 4. Unesite vrijednost eksponenta u njegovu bazu

Vaša osnovna vrijednost, b, mora se pomnožiti s istim brojem vrijednosti koje predstavlja eksponent y.

• Primjer:

  4 * 4 * 4 * 4 * 4 = ?

  Ova jednadžba može se napisati i kao: 4⁵

Korak 5. Prepišite svoj konačni odgovor

Sada biste trebali moći prepisati logaritamsku jednadžbu kao eksponencijalnu jednadžbu. Dvaput provjerite svoj odgovor pazeći da obje strane jednadžbe imaju istu vrijednost.

• Primjer:

  4⁵ = 1024

Metoda 1 od 3: Pronalaženje vrijednosti X

Korak 1. Podijelite logaritamsku jednadžbu

Izvršite obrnuti izračun da biste dio jednadžbe koji nije logaritamska jednadžba premjestili na drugu stranu.

• Primjer:

  zapisnik₃(x + 5) + 6 = 10

  • zapisnik₃(x + 5) + 6 - 6 = 10 - 6
  • zapisnik₃(x + 5) = 4

Korak 2. Prepišite ovu jednadžbu u eksponencijalnom obliku

Upotrijebite ono što već znate o odnosu logaritamskih jednadžbi i eksponencijalnih jednadžbi te ih prepišite u eksponencijalni oblik koji je jednostavniji i lakši za rješavanje.

• Primjer:

  zapisnik₃(x + 5) = 4

  • Usporedite ovu jednadžbu s definicijom [ y = zapisnik_b (x)], tada možete zaključiti da je: y = 4; b = 3; x = x + 5
  • Jednadžbu prepišite na sljedeći način: b^y = x
  • 3⁴ = x + 5

Korak 3. Pronađite vrijednost x

Nakon što je ovaj problem pojednostavljen u osnovnu eksponencijalnu jednadžbu, trebali biste ga moći riješiti kao i svaku drugu eksponencijalnu jednadžbu.

• Primjer:

  3⁴ = x + 5

  • 3 * 3 * 3 * 3 = x + 5
  • 81 = x + 5
  • 81 - 5 = x + 5 - 5
  • 76 = x

Korak 4. Zapišite svoj konačni odgovor

Konačni odgovor koji dobijete kada pronađete vrijednost x je odgovor na vaš izvorni problem logaritma.

• Primjer:

  x = 76

Metoda 2 od 3: Pronalaženje vrijednosti X korištenjem pravila logaritamskog zbrajanja

Korak 1. Shvatite pravila za dodavanje logaritama

Prvo svojstvo logaritama poznato kao "pravilo logaritamskog zbrajanja" glasi da je logaritam proizvoda jednak zbroju logaritama dviju vrijednosti. Napišite ovo pravilo u obliku jednadžbe:

• zapisnik_b(m * n) = log_b(m) + dnevnik_b(n)

• Zapamtite da se mora primijeniti sljedeće:

  • m> 0
  • n> 0

Korak 2. Podijelite logaritam na jednu stranu jednadžbe

Upotrijebite obrnute izračune za pomicanje dijelova jednadžbe tako da cijela logaritamska jednadžba leži s jedne strane, dok su ostale komponente s druge strane.

• Primjer:

  zapisnik₄(x + 6) = 2 - log₄(x)

  • zapisnik₄(x + 6) + zapisnik₄(x) = 2 - log₄(x) + zapisnik₄(x)
  • zapisnik₄(x + 6) + zapisnik₄(x) = 2

Korak 3. Primijenite pravilo logaritamskog zbrajanja

Ako postoje dva logaritma koji se zbrajaju u jednadžbi, možete ih koristiti zajedno s pravilom logaritma.

• Primjer:

  zapisnik₄(x + 6) + zapisnik₄(x) = 2

  • zapisnik₄[(x + 6) * x] = 2
  • zapisnik₄(x² + 6x) = 2

Korak 4. Prepišite ovu jednadžbu u eksponencijalnom obliku

Upamtite da su logaritmi samo još jedan način pisanja eksponencijalnih jednadžbi. Pomoću logaritamske definicije prepišite jednadžbu u oblik koji se može riješiti.

• Primjer:

  zapisnik₄(x² + 6x) = 2

  • Usporedite ovu jednadžbu s definicijom [ y = zapisnik_b (x)], možete zaključiti da je: y = 2; b = 4; x = x² + 6x
  • Prepišite ovu jednadžbu tako da: b^y = x
  • 4² = x² + 6x

Korak 5. Pronađite vrijednost x

Nakon što se ova jednadžba pretvorila u redovitu eksponencijalnu jednadžbu, upotrijebite ono što znate o eksponencijalnim jednadžbama da biste pronašli vrijednost x kao što biste inače.

• Primjer:

  4² = x² + 6x

  • 4 * 4 = x² + 6x
  • 16 = x² + 6x
  • 16 - 16 = x² + 6x - 16
  • 0 = x² + 6x - 16
  • 0 = (x - 2) * (x + 8)
  • x = 2; x = -8

Korak 6. Zapišite svoje odgovore

U ovom trenutku trebali biste imati odgovor na jednadžbu. Odgovor napišite u predviđeno mjesto.

• Primjer:

  x = 2

• Imajte na umu da ne možete dati negativan odgovor za logaritam, pa se možete riješiti odgovora x - 8.

Metoda 3 od 3: Pronalaženje vrijednosti X pomoću pravila logaritamske podjele

Korak 1. Shvatite pravilo logaritamske podjele

Na temelju drugog svojstva logaritma, poznatog kao "pravilo logaritamske podjele", logaritam podjele može se prepisati oduzimanjem logaritma nazivnika od brojnika. Napišite ovu jednadžbu na sljedeći način:

• zapisnik_b(m/n) = log_b(m) - zapisnik_b(n)

• Zapamtite da se mora primijeniti sljedeće:

  • m> 0
  • n> 0

Korak 2. Logaritamsku jednadžbu podijelite na jednu stranu

Prije nego riješite logaritamske jednadžbe, morate sve logaritamske jednadžbe prenijeti na jednu stranu znaka jednakosti. Druga polovica jednadžbe mora se pomaknuti na drugu stranu. Za rješavanje toga koristite obrnute izračune.

• Primjer:

  zapisnik₃(x + 6) = 2 + log₃(x - 2)

  • zapisnik₃(x + 6) - zapisnik₃(x - 2) = 2 + log₃(x - 2) - zapisnik₃(x - 2)
  • zapisnik₃(x + 6) - zapisnik₃(x - 2) = 2

Korak 3. Primijenite pravilo logaritamske podjele

Ako u jednadžbi postoje dva logaritma, a jedan se od njih mora oduzeti od drugog, možete i trebate koristiti pravilo podjele kako biste spojili ta dva logaritma.

• Primjer:

  zapisnik₃(x + 6) - zapisnik₃(x - 2) = 2

  zapisnik₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

Korak 4. Napišite ovu jednadžbu u eksponencijalnom obliku

Nakon što ostane samo jedna logaritamska jednadžba, upotrijebite logaritamsku definiciju da je napišete u eksponencijalnom obliku, eliminirajući dnevnik.

• Primjer:

  zapisnik₃[(x + 6) / (x - 2)] = 2

  • Usporedite ovu jednadžbu s definicijom [ y = zapisnik_b (x)], možete zaključiti da je: y = 2; b = 3; x = (x + 6) / (x - 2)
  • Jednadžbu prepišite na sljedeći način: b^y = x
  • 3² = (x + 6) / (x - 2)

Korak 5. Pronađite vrijednost x

Nakon što je jednadžba eksponencijalna, trebali biste moći pronaći vrijednost x kao i inače.

• Primjer:

  3² = (x + 6) / (x - 2)

  • 3 * 3 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 = (x + 6) / (x - 2)
  • 9 * (x - 2) = [(x + 6) / (x - 2)] * (x - 2)
  • 9x - 18 = x + 6
  • 9x - x - 18 + 18 = x - x + 6 + 18
  • 8x = 24
  • 8x / 8 = 24/8
  • x = 3

Korak 6. Zapišite svoj konačni odgovor

Istražite i dvaput provjerite svoje korake izračuna. Kad budete sigurni da je odgovor točan, zapišite ga.

• Primjer:

  x = 3