Kako odrediti odrednicu 3X3 matrice: 11 koraka (sa slikama)

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-15 08:16

Odrednica matrica često se koristi u računu, linearnoj algebri i geometriji na višoj razini. Izvan akademske zajednice, inženjeri računalne grafike i programeri cijelo vrijeme koriste matrice i njihove odrednice. Ako već znate odrediti odrednicu matrice reda 2x2, samo trebate naučiti kada koristiti zbrajanje, oduzimanje i vrijeme za određivanje determinante matrice reda 3x3.

Korak

1. dio od 2: Određivanje odrednica

Napišite svoju matricu narudžbe 3 x 3. Počet ćemo s matricom A reda 3x3 i pokušati pronaći odrednicu | A |. Ispod je opći oblik zapisa matrice koji ćemo koristiti i primjer naše matrice:

		a11	a12	a13		1	5	3
M	=	a21	a22	a23	=	2	4	7
		a31	a32	a33		4	6	2

Korak 1. Odaberite redak ili stupac

Odaberite svoj izbor kao referentni redak ili stupac. Što god odabrali, i dalje ćete dobiti isti odgovor. Privremeno odaberite prvi redak. U sljedećem odjeljku dat ćemo vam neke prijedloge za odabir opcije koju je najlakše izračunati.

Odaberite prvi redak matrice uzorka A. Zaokružite broj 1 5 3. U zajedničkom zapisu zaokružite a₁₁ a₁₂ a₁₃.

Korak 2. Precrtajte redak i stupac vašeg prvog elementa

Pogledajte redak ili stupac koji ste zaokružili i odaberite prvi element. Precrtajte retke i stupce. Ostat će samo 4 broja netaknuta. Neka ova 4 broja budu matrica reda 2 x 2.

• U našem primjeru naš referentni redak je 1 5 3. Prvi element nalazi se u 1. retku i 1. stupcu. Precrtajte cijeli 1. red i 1. stupac. Prepišite preostale elemente u matricu 2 x 2:
• 1 5 3
• 2 4 7
• 4 6 2

Korak 3. Odredite odrednicu matrice reda 2 x 2

Zapamtite, odredite odrednicu matrice [^{a_c b_d] autor oglas - p.n.e.. Možda ste također naučili odrediti odrednicu matrice povlačenjem X između matrice 2 x 2. Pomnožite dva broja povezana linijom / od X. Zatim oduzmite broj puta koliko su dva broja povezana linijom / su. Pomoću ove formule izračunajte determinantu matrice 2 x 2.}

• U primjeru je odrednica matrice [^{4₆ 7₂}] = 4*2 - 7*6 = - 34.
• Ova odrednica se naziva maloljetna elemenata koje ste odabrali u početnoj matrici. U ovom slučaju upravo smo pronašli maloljetnika a₁₁.

Korak 4. Pomnožite broj koji ste pronašli s elementom koji ste odabrali

Upamtite, odabrali ste elemente iz referentnog retka (ili stupca) kada ste odlučili koje retke i stupce precrtati. Pomnožite ovaj element s odrednicom matrice 2 x 2 koju ste pronašli.

U primjeru odabiremo a₁₁ što je 1. Pomnožite ovaj broj sa -34 (odrednica matrice 2 x 2) kako biste dobili 1*-34 = - 34.

Korak 5. Odredite simbol vašeg odgovora

Sljedeći korak je da svoj odgovor morate pomnožiti s 1 ili -1 kofaktor elementa koji ste odabrali. Simbol koji koristite ovisi o tome gdje se elementi nalaze u matrici 3 x 3. Zapamtite, ova se tablica simbola koristi za određivanje množitelja vašeg elementa:

• + - +
• - + -
• + - +
• Budući da odabiremo a₁₁ koji je označen sa +, broj ćemo pomnožiti s +1 (ili drugim riječima, nemojte ga mijenjati). Odgovor koji se pojavi bit će isti, naime - 34.
• Drugi način definiranja simbola je upotreba formule (-1) ^{i+j gdje su i i j elementi reda i stupca.}

Korak 6. Ponovite ovaj postupak za drugi element u referentnom retku ili stupcu

Vratite se na izvornu matricu 3 x 3 u kojoj ste ranije zaokružili redak ili stupac. Ponovite isti postupak s elementom:

• Precrtajte redak i stupac elementa.

  U tom slučaju odaberite element a₁₂ (što vrijedi 5). Precrtajte 1. red (1 5 3) i 2. stupac (5 4 6).

• Preostale elemente pretvorite u matricu 2x2.

  U našem primjeru matrica reda 2x2 za drugi element je [²₄ ⁷₂].

• Odredite odrednicu ove 2x2 matrice.

  Upotrijebite formulu ad - bc. (2*2 - 7*4 = -24)

• Pomnožite s elementima odabrane matrice 3x3.

  -24 * 5 = -120

• Odlučite hoćete li gornji rezultat pomnožiti s -1 ili ne.

  Koristite tablicu simbola ili formula (-1)^{i J}. Odaberite element a₁₂ simbolizirano - u tablici simbola. Zamijenite naš simbol odgovora sa: (-1)*(-120) = 120.

Korak 7. Ponovite isti postupak za treći element

Imate još jedan kofaktor za određivanje odrednice. Odbrojite i za treći element u referentnom retku ili stupcu. Ovdje je brz način za izračunavanje kofaktora a₁₃ u našem primjeru:

• Precrtajte prvi redak i treći stupac kako biste dobili [²₄ ⁴₆].
• Odrednica je 2*6 - 4*4 = -4.
• Pomnožite s elementom a₁₃: -4 * 3 = -12.
• Element a₁₃ simbol + u tablici simbola, pa je odgovor - 12.

Korak 8. Zbrojite rezultate svoja tri broja

Ovo je posljednji korak. Izračunali ste tri kofaktora, po jedan za svaki element u retku ili stupcu. Zbrojite te rezultate i pronaći ćete odrednicu matrice 3 x 3.

U primjeru je odrednica matrice - 34 + 120 + - 12 = 74.

Dio 2 od 2: Olakšavanje rješavanja problema

Korak 1. Odaberite redak ili stupac referenci koji imaju najviše 0

Upamtite, možete odabrati bilo koji redak ili stupac koji želite. Što god odabrali, odgovor će biti isti. Ako odaberete redak ili stupac s brojem 0, trebate izračunati samo kofaktor s elementima koji nisu 0 jer:

• Na primjer, odaberite 2. redak koji ima element a₂₁, a₂₂, fond₂₃. Za rješavanje ovog problema koristit ćemo 3 različite matrice 2 x 2, recimo A₂₁, A₂₂, Ti₂₃.
• Odrednica matrice 3x3 je a₂₁| A₂₁| - a₂₂| A₂₂| + a₂₃| A₂₃|.
• Ako a₂₂ fond₂₃ vrijednost 0, postojeća formula bit će a₂₁| A₂₁| - 0*| A₂₂| + 0*| A₂₃| = a₂₁| A₂₁| - 0 + 0 = a₂₁| A₂₁|. Stoga ćemo izračunati samo kofaktor samo jednog elementa.

Korak 2. Koristite dodatne retke kako biste olakšali probleme s matricom

Ako uzmete vrijednosti iz jednog retka i dodate ih u drugi redak, odrednica matrice se neće promijeniti. Isto vrijedi i za stupce. To možete učiniti više puta ili pomnožiti s konstantom prije nego što je dodate kako biste dobili što više 0 u matrici. Ovo može uštedjeti mnogo vremena.

• Na primjer, imate matricu s 3 retka: [9 -1 2] [3 1 0] [7 5 -2]
• Za uklanjanje broja 9 koji je u položaju a₁₁, možete pomnožiti vrijednost u 2. retku s -3 i dodati rezultat u prvi redak. Sada je novi prvi redak [9 -1 2] + [-9 -3 0] = [0 -4 2].
• Nova matrica ima retke [0 -4 2] [3 1 0] [7 5 -2]. Istim trikom stupaca napravite a₁₂ biti broj 0.

Korak 3. Upotrijebite brzu metodu za trokutaste matrice

U ovom posebnom slučaju, odrednica je umnožak elemenata na glavnoj dijagonali, a₁₁ gore lijevo do a₃₃ u donjem desnom kutu matrice. Ova matrica je i dalje matrica 3x3, ali matrica "trokuta" ima poseban uzorak brojeva koji nisu 0:

• Gornja trokutasta matrica: Svi elementi koji nisu 0 nalaze se na ili iznad glavne dijagonale. Svi brojevi ispod glavne dijagonale su 0.
• Donja trokutasta matrica: Svi elementi koji nisu 0 nalaze se na ili ispod glavne dijagonale.
• Dijagonalna matrica: Svi elementi koji nisu 0 nalaze se na glavnoj dijagonali (podskup gore navedenih vrsta matrica).

Savjeti

• Ako su svi elementi u retku ili stupcu 0, odrednica matrice je 0.
• Ova se metoda može koristiti za sve veličine kvadratnih matrica. Na primjer, ako ovu metodu koristite za matricu reda 4x4, vaš će "štrajk" ostaviti matricu reda 3x3 čija se odrednica može odrediti slijedeći gore navedene korake. Zapamtite, ovo može biti dosadno!