Kako pojednostaviti matematičke jednadžbe: 13 koraka

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-15 08:16

Od učenika matematike često se traži da svoje odgovore zapišu u svom najjednostavnijem obliku - drugim riječima, da odgovore napišu što elegantnije. Iako su dugačke, ukočene i kratke, kao i elegantne, jednadžbe tehnički ista stvar, često se matematički problem ne smatra dovršenim ako se konačni odgovor ne svede na najjednostavniji oblik. Također, odgovor u svom najjednostavnijem obliku gotovo je uvijek najjednostavnija jednadžba za rad. Iz tog razloga, učenje pojednostavljivanja jednadžbi važna je vještina za matematičare.

Korak

Metoda 1 od 2: Korištenje operacijske sekvence

Korak 1. Upoznajte redoslijed operacija

Kada pojednostavljujete matematičke izraze, ne možete samo raditi slijeva nadesno, množiti, zbrajati, oduzimati i tako redom slijeva nadesno. Neke matematičke operacije moraju imati prednost u odnosu na druge i prvo ih treba izvesti. Zapravo, pogrešan redoslijed operacija može dati pogrešan odgovor. Redoslijed operacija je: dio u zagradama, eksponent, množenje, dijeljenje, zbrajanje i na kraju oduzimanje. Skraćenica koju možete zapamtiti je Zato što majka nije dobra, zla i siromašna.

Imajte na umu da, iako osnovno znanje o redoslijedu operacija može pojednostaviti najosnovnije jednadžbe, potrebne su posebne tehnike za pojednostavljenje mnogih promjenjivih jednadžbi, uključujući gotovo sve polinome. Za više informacija pogledajte sljedeću drugu metodu

Korak 2. Počnite ispunjavanjem svih odjeljaka u zagradama

U matematici zagrade označavaju da se unutarnji dio mora izračunati odvojeno od izraza koji je izvan zagrada. Bez obzira na to koje se operacije nalaze unutar zagrada, svakako dovršite dio unutar zagrada kada pokušavate pojednostaviti jednadžbu. Na primjer, u zagradama morate pomnožiti prije zbrajanja, oduzimanja itd.

• Na primjer, pokušajmo pojednostaviti jednadžbu 2x + 4 (5 + 2) + 3² - (3 + 4/2). U ovoj jednadžbi prvo moramo riješiti dio unutar zagrada, naime 5 + 2 i 3 + 4/2. 5 + 2 =

  Korak 7.. 3 + 4/2 = 3 + 2

  Korak 5

  Dio u drugom zagradi pojednostavljen je na 5 jer prema redoslijedu operacija dijelimo 4/2 prvo u zagradama. Ako radimo samo slijeva nadesno, prvo zbrajamo 3 i 4, zatim dijelimo s 2, dajući pogrešan odgovor 7/2

• Napomena - ako je u zagradama više zagrada, ispunite odjeljak u unutarnjoj zagradi, zatim drugu unutarnju zagradu itd.

Korak 3. Riješite eksponent

Nakon što ispunite zagrade, riješite eksponent svoje jednadžbe. To se lako pamti jer su u eksponentima osnovni broj i snaga na snazi jedan do drugog. Pronađite odgovor na svaki dio eksponenta, a zatim uključite svoj odgovor u jednadžbu kako biste zamijenili dio eksponenta.

Nakon što smo dovršili dio u zagradama, naša primjer jednadžba sada postaje 2x + 4 (7) + 3² - 5. Jedina eksponencijalna vrijednost u našem primjeru je 3², što je jednako 9. Dodajte ovaj rezultat u svoju jednadžbu kako biste zamijenili 3² što rezultira 2x + 4 (7) + 9 - 5.

Korak 4. Riješite problem množenja u svojoj jednadžbi

Zatim učinite množenje koje je potrebno u vašoj jednadžbi. Upamtite da se množenje može napisati na nekoliko načina. × točka ili simbol zvjezdice način je prikazivanja množenja. Međutim, broj pored zagrada ili varijabla (poput 4 (x)) također predstavlja množenje.

• U našem problemu postoje dva dijela za množenje: 2x (2x je 2 × x) i 4 (7). Ne znamo vrijednost x, pa je ostavimo na 2x. 4 (7) = 4 × 7 =

  Korak 28.. Našu jednadžbu možemo prepisati u 2x + 28 + 9 - 5.

Korak 5. Prijeđite na podjelu

Kada tražite probleme dijeljenja u svojim jednadžbama, imajte na umu da se, poput množenja, dijeljenje može napisati na više načina. Jedan od njih je simbol, ali imajte na umu da kose crte i crtice, kao što su razlomci (npr. 3/4), također označavaju podjelu.

Budući da smo već izvršili podjelu (4/2) kad smo dovršili dijelove u zagradama. Naš primjer već nema problem podjele pa ćemo preskočiti ovaj korak. Ovo pokazuje važnu točku - ne morate izvoditi sve operacije prilikom pojednostavljivanja izraza, samo operacije sadržane u vašem problemu

Korak 6. Zatim dodajte sve što je u vašoj jednadžbi

Možete raditi s lijeva na desno, ali lakše je prvo zbrojiti brojeve koje je lako dodati. Na primjer, u zadatku 49 + 29 + 51 + 71 lakše je dodati 49 + 51 = 100, 29 + 71 = 100 i 100 + 100 = 200, nego 49 + 29 = 78, 78 + 51 = 129, a 129 + 71 = 200.

Naša je jednadžba primjera djelomično pojednostavljena na 2x + 28 + 9 - 5. Sada moramo zbrojiti brojeve koje možemo zbrojiti - pogledajmo svaki problem zbrajanja slijeva nadesno. Ne možemo zbrojiti 2x i 28 jer ne znamo vrijednost x, pa ćemo je samo preskočiti. 28 + 9 = 37, može se prepisati kao 2x + 37 - 5.

Korak 7. Posljednji korak u nizu operacija je oduzimanje

Nastavite svoj problem rješavanjem preostalih problema oduzimanja. Možda ćete u ovom koraku na oduzimanje misliti kao zbrajanje negativnih brojeva ili korištenje istih koraka kao za uobičajeni problem zbrajanja - vaš odabir neće utjecati na vaš odgovor.

• U našem problemu 2x + 37 - 5 postoji samo jedan problem oduzimanja. 37 - 5 =

  Korak 32.

Korak 8. Provjerite svoju jednadžbu

Nakon rješavanja pomoću redoslijeda operacija, vašu bi jednadžbu trebalo pojednostaviti u najjednostavniji oblik. Međutim, ako vaša jednadžba sadrži jednu ili više varijabli, shvatite da na vašim varijablama ne treba raditi. Da biste pojednostavili varijablu, morate pronaći vrijednost svoje varijable ili upotrijebiti posebne tehnike za pojednostavljenje izraza (vidi donji korak).

Naš konačni odgovor je 2x + 32. Ovaj konačni zbroj ne možemo riješiti ako ne znamo vrijednost x, ali da znamo njegovu vrijednost, ovu bi jednadžbu bilo puno lakše riješiti od naše duge izvorne jednadžbe

Metoda 2 od 2: Pojednostavljivanje složenih jednadžbi

Korak 1. Zbrojite dijelove koji imaju istu varijablu

Prilikom rješavanja jednadžbi varijabli imajte na umu da se dijelovi koji imaju istu varijablu i eksponent (ili istu varijablu) mogu zbrajati i oduzimati poput normalnih brojeva. Ovaj dio mora imati istu varijablu i eksponent. Na primjer, 7x i 5x se mogu dodati, ali 7x i 5x² ne može se zbrajati.

• Ovo pravilo vrijedi i za neke varijable. Na primjer, 2xy² može se sažeti sa -3xy², ali se ne može zbrojiti sa -3x²y ili -3y².
• Vidi jednadžbu x² + 3x + 6 - 8x. U ovoj jednadžbi možemo dodati 3x i -8x jer imaju istu varijablu i eksponent. Jednostavna jednadžba postaje x² - 5x + 6.

Korak 2. Pojednostavite razlomljene brojeve dijeljenjem ili precrtavanjem faktora

Razlomci koji imaju samo brojeve (i bez varijabli) u brojniku i nazivniku mogu se pojednostaviti na nekoliko načina. Prvi, a možda i najjednostavniji, jest zamisliti razlomak kao problem dijeljenja i nazivnik podijeliti brojnikom. Također, bilo koji faktor množenja koji se pojavi u brojniku i nazivniku može se precrtati jer dijeljenjem dva faktora nastaje broj 1.

Na primjer, pogledajte razlomak 36/60. Ako imamo kalkulator, možemo ga podijeliti kako bismo dobili odgovor 0, 6. Međutim, ako nemamo kalkulator, ipak ga možemo pojednostaviti precrtavanjem istih čimbenika. Drugi način zamišljanja 36/60 je (6 × 6)/(6 × 10). Ovaj razlomak se može napisati kao 6/6 × 6/10. 6/6 = 1, pa je naš razlomak zapravo 1 × 6/10 = 6/10. Međutim, još nismo završili - i 6 i 10 imaju isti faktor, što je 2. Ponavljajući gornju metodu, rezultat postaje 3/5.

Korak 3. Na promjenjivom ulomku prekrižite sve čimbenike varijable

Jednadžbe varijabli u obliku razlomka imaju jedinstven način pojednostavljivanja. Kao i obični razlomci, promjenjivi razlomci omogućuju vam uklanjanje čimbenika koji su zajednički i brojniku i nazivniku. Međutim, u promjenjivim ulomcima ti čimbenici mogu biti brojevi i jednadžbe stvarne varijable.

• Recimo jednadžba (3x² + 3x)/(-3x² + 15x). Ovaj razlomak se može napisati kao (x + 1) (3x)/(3x) (5 - x), 3x se pojavljuje i u brojniku i u nazivniku. Prelaskom ovih čimbenika iz jednadžbe rezultat postaje (x + 1)/(5 - x). Isto kao u izrazu (2x² + 4x + 6)/2, budući da je svaki dio djeljiv s 2, jednadžbu možemo zapisati kao (2 (x² + 2x + 3))/2, a zatim pojednostavite na x² + 2x + 3.
• Imajte na umu da ne možete precrtati sve odjeljke - možete samo precrtati čimbenike množenja koji se pojavljuju u brojniku i nazivniku. Na primjer, u izrazu (x (x + 2))/x, x se može precrtati i u brojniku i u nazivniku, tako da postane (x + 2)/1 = (x + 2). Međutim, (x + 2)/x ne može se precrtati na 2/1 = 2.

Korak 4. Pomnožite dio u zagradama s konstantom

Kada se dio koji ima varijablu u zagradama pomnoži s konstantom, ponekad množenje svakog dijela u zagradama s konstantom može rezultirati jednostavnijom jednadžbom. To se odnosi na konstante koje se sastoje samo od brojeva i konstanti koje imaju varijable.

• Na primjer, jednadžba 3 (x² + 8) može se pojednostaviti do 3x² + 24, dok je 3x (x² + 8) može se pojednostaviti na 3x³ + 24x.
• Imajte na umu da se u nekim slučajevima, kao što su promjenjivi razlomci, konstante oko zagrada mogu precrtati tako da ih nije potrebno pomnožiti s dijelom u zagradama. U razlomacima (3 (x² + 8))/3x, na primjer, faktor 3 pojavljuje se i u brojniku i u nazivniku, pa ga možemo precrtati i pojednostaviti izraz u (x² + 8)/x. Ovaj izraz je jednostavniji i lakši za rad nego (3x³ + 24x)/3x, što je rezultat koji ćemo dobiti ako ga pomnožimo.

Korak 5. Pojednostavite faktoringom

Faktoring je tehnika koja se može koristiti za pojednostavljenje nekih varijabilnih izraza, uključujući polinome. Zamislite faktoring kao suprotnost množenju s dijelom u zagradama u prethodnom koraku - ponekad se izraz može zamisliti kao dva dijela koji se međusobno množe, a ne kao jedinstveni izraz. To je osobito istinito ako faktoring jednadžbe omogućuje precrtavanje jednog od njezinih dijelova (kao u razlomcima). U određenim slučajevima (često s kvadratnim jednadžbama), faktoring vam čak može omogućiti da pronađete rješenje jednadžbe.

• Pretpostavimo opet izraz x² - 5x + 6. Ovaj izraz se može uračunati u (x - 3) (x - 2). Dakle, ako je x² - 5x + 6 je brojnik date jednadžbe gdje nazivnik ima jedan od ovih faktora, kao u izrazu (x² - 5x + 6)/(2 (x - 2)), možda bismo ga htjeli zapisati u obliku faktora kako bismo faktor mogli precrtati nazivnikom. Drugim riječima, u (x - 3) (x - 2)/(2 (x - 2)) dio (x - 2) se može precrtati na (x - 3)/2.

• Kao što je gore istaknuto, još jedan razlog zašto biste htjeli faktorizirati svoje jednadžbe je taj što vam faktoring može dati odgovore na određene jednadžbe, osobito ako su napisane kao jednake 0. Na primjer, jednadžba x² - 5x + 6 = 0. Faktoriziranje daje (x - 3) (x - 2) = 0. Budući da je bilo koji broj pomnožen s nulom jednak nuli, znamo da ako je bilo koji dio zagrada jednak nuli, sva jednadžba lijevo od znak jednakosti, također je nula. Tako da

  Korak 3. da

  Korak 2. dva su odgovora jednadžbe.