Korijenski oblik je algebarski iskaz koji ima znak kvadratnog korijena (ili korijena korijena ili višeg). Ovaj oblik često može predstavljati dva broja koji imaju istu vrijednost iako se na prvi pogled mogu činiti različitima (na primjer, 1/(sqrt (2) - 1) = sqrt (2) +1). Stoga nam je potrebna "standardna formula" za ovu vrstu obrasca. Ako postoje dvije izjave, obje u standardnoj formuli, koje se čine različitim, one nisu iste. Matematičari se slažu da standardna formulacija kvadratnog oblika ispunjava sljedeće zahtjeve:
- Izbjegavajte korištenje razlomka
- Nemojte koristiti razlomljene moći
- Izbjegavajte korištenje korijena u nazivniku
- Ne sadrži množenje dva oblika korijena
- Brojevi pod korijenom ne mogu se više ukorijeniti
Jedna praktična upotreba ovoga je u ispitima s više izbora. Kad pronađete odgovor, ali vaš odgovor nije isti kao dostupne opcije, pokušajte ga pojednostaviti u standardnu formulu. Budući da tvorci pitanja obično pišu odgovore u standardnim formulama, učinite isto sa svojim odgovorima kako bi odgovarali njihovim. U esejskim pitanjima, naredbe poput "pojednostavite svoj odgovor" ili "pojednostavite sve korijene" znače da učenici moraju izvršiti sljedeće korake dok ne ispune standardnu formulu kao gore. Ovaj se korak može koristiti i za rješavanje jednadžbi, iako su neke vrste jednadžbi lakše riješiti u nestandardnim formulama.
Korak
Korak 1. Ako je potrebno, pregledajte pravila za operacijske korijene i eksponente (oba su jednaka - korijeni su moći razlomka) jer nam trebaju u ovom procesu
Također pregledajte pravila za pojednostavljivanje polinoma i racionalnih oblika jer ćemo ih morati pojednostaviti.
Metoda 1 od 6: Savršeni kvadrati
Korak 1. Pojednostavite sve korijene koji sadrže savršene kvadrate
Savršeni kvadrat je umnožak broja sam po sebi, na primjer 81, koji je umnožak 9 x 9. Da biste pojednostavili savršeni kvadrat, samo uklonite kvadratni korijen i zapišite kvadratni korijen broja.
- Na primjer, 121 je savršen kvadrat jer je 11 x 11 jednako 121. Dakle, možete pojednostaviti korijen (121) na 11, uklanjanjem znaka korijena.
- Da biste olakšali ovaj korak, morate se sjetiti prvih dvanaest savršenih kvadrata: 1 x 1 = 1, 2 x 2 = 4, 3 x 3 = 9, 4 x 4 = 16, 5 x 5 = 25, 6 x 6 = 36, 7 x 7 = 49, 8 x 8 = 64, 9 x 9 = 81, 10 x 10 = 100, 11 x 11 = 121, 12 x 12 = 144
Korak 2. Pojednostavite sve korijene koji sadrže savršene kocke
Savršena kocka je umnožak broja dva puta sam po sebi, na primjer 27, što je umnožak 3 x 3 x 3. Da biste pojednostavili oblik korijena savršene kocke, samo uklonite kvadratni korijen i zapišite kvadratni korijen broja.
Na primjer, 343 je savršena kocka jer je umnožak 7 x 7 x 7. Dakle korijen kocke iz 343 je 7
Metoda 2 od 6: Pretvaranje razlomaka u korijene
Ili promijenite obrnuto (ponekad pomaže), ali nemojte ih miješati u istu izjavu kao root (5) + 5^(3/2). Pretpostavit ćemo da želite koristiti korijenski oblik, a mi ćemo koristiti simbole root (n) za kvadratni korijen i sqrt^3 (n) za korijen kocke.
Korak 1. Uzmite jedan u stupanj razlomka i pretvorite ga u oblik korijena, na primjer x^(a/b) = korijen u b snagu x^a
Ako je kvadratni korijen u obliku razlomka, pretvorite ga u pravilan oblik. Na primjer, kvadratni korijen (2/3) od 4 = korijen (4)^3 = 2^3 = 8
Korak 2. Pretvorite negativne eksponente u razlomke, na primjer x^-y = 1/x^y
Ova formula vrijedi samo za konstantne i racionalne eksponente. Ako imate posla s oblikom poput 2^x, nemojte ga mijenjati, čak i ako problem ukazuje na to da x može biti razlomak ili negativan broj
Korak 3. Spojiti isto pleme i pojednostaviti rezultirajući racionalni oblik.
Metoda 3 od 6: Uklanjanje razlomaka u korijenima
Standardna formula zahtijeva da korijen bude cijeli broj.
Korak 1. Pogledajte broj ispod kvadratnog korijena ako još uvijek sadrži razlomak
Ako je ipak,…
Korak 2. Promijenite u razlomak koji se sastoji od dva korijena pomoću korijena identiteta (a/b) = sqrt (a)/sqrt (b)
Nemojte koristiti ovaj identitet ako je nazivnik negativan ili ako je to varijabla koja bi mogla biti negativna. U tom slučaju prvo pojednostavite razlomak
Korak 3. Pojednostavite svaki savršeni kvadrat rezultata
To jest, pretvorite sqrt (5/4) u sqrt (5)/sqrt (4), a zatim pojednostavite u sqrt (5)/2.
Korak 4. Upotrijebite druge metode pojednostavljenja, poput pojednostavljivanja složenih razlomaka, kombiniranja jednakih članova itd
Metoda 4 od 6: Kombiniranje korijena množenja
Korak 1. Ako množite jedan korijenski oblik s drugim, spojite dva u jedan kvadratni korijen koristeći formulu:
sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab). Na primjer, promijenite root (2)*root (6) u root (12).
- Gore navedeni identitet, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (ab), vrijedi ako broj pod predznakom sqrt nije negativan. Nemojte koristiti ovu formulu kada su a i b negativni jer ćete pogriješiti ako napravite sqrt (-1)*sqrt (-1) = sqrt (1). Naredba s lijeve strane jednaka je -1 (ili nedefinirana ako ne koristite složene brojeve), dok je izjava s desne strane +1. Ako su a i/ili b negativni, prvo "promijenite" znak poput sqrt (-5) = i*sqrt (5). Ako je oblik pod znakom korijena varijabla čiji je znak nepoznat iz konteksta ili može biti pozitivan ili negativan, ostavite je zasad takvu kakva jest. Možete koristiti općenitiji identitet, sqrt (a)*sqrt (b) = sqrt (sgn (a))*sqrt (sgn (b))*sqrt (| ab |) koji se odnosi na sve stvarne brojeve a i b, ali obično ova formula ne pomaže puno jer dodaje složenost korištenju funkcije sgn (signum).
- Ovaj identitet vrijedi samo ako oblici korijena imaju isti eksponent. Možete pomnožiti različite kvadratne korijene, poput sqrt (5)*sqrt^3 (7) pretvarajući ih u isti kvadratni korijen. Da biste to učinili, privremeno pretvorite kvadratni korijen u razlomak: sqrt (5) * sqrt^3 (7) = 5^(1/2) * 7^(1/3) = 5^(3/6) * 7 ^(2/6) = 125^(1/6) * 49^(1/6). Zatim upotrijebite pravilo množenja da pomnožite dva na kvadratni korijen od 6125.
Metoda 5 od 6: Uklanjanje kvadratnog faktora iz korijena
Korak 1. Faktoriziranje nesavršenih korijena u osnovne faktore
Faktor je broj koji, pomnožen s drugim brojem, čini broj - na primjer, 5 i 4 su dva faktora od 20. Da biste razbili nesavršene korijene, zapišite sve čimbenike broja (ili što je više moguće, ako broj je prevelik) sve dok ne pronađete savršeni kvadrat.
Na primjer, pokušajte pronaći sve faktore 45: 1, 3, 5, 9, 15 i 45. 9 je faktor 45 i također je savršen kvadrat (9 = 3^2). 9 x 5 = 45
Korak 2. Iz kvadratnog korijena uklonite sve množitelje koji su savršeni kvadrati
9 je savršen kvadrat jer je umnožak 3 x 3. Izvadite 9 iz kvadratnog korijena i zamijenite ga s 3 ispred korijena, ostavljajući 5 unutar korijena. Ako "vratite" 3 natrag u kvadratni korijen, pomnožite sami po sebi kako biste dobili 9, a ako pomnožite s 5, vraća se 45. 3 korijena od 5 jednostavan je način izražavanja korijena 45.
To jest, sqrt (45) = sqrt (9*5) = sqrt (9)*sqrt (5) = 3*sqrt (5)
Korak 3. Pronađite savršeni kvadrat u varijabli
Kvadratni korijen na kvadrat je | a |. To možete pojednostaviti na samo "a" ako je poznata varijabla pozitivna. Kvadratni korijen a na stepen 3 kada se razbije na kvadratni korijen na kvadrat puta a - zapamtite da se eksponenti zbrajaju kada množimo dva broja na snagu a, pa je kvadrat puta a jednak a na treća snaga.
Stoga je savršeni kvadrat u obliku kocke kvadrat
Korak 4. Iz kvadratnog korijena uklonite varijablu koja sadrži savršeni kvadrat
Sada uzmite kvadrat iz kvadratnog korijena i promijenite ga u | a |. Jednostavan oblik korijena a do stepena 3 je | a | korijen a.
Korak 5. Kombinirajte jednake izraze i pojednostavite sve korijene rezultata izračuna
Metoda 6 od 6: Racionalizirajte nazivnik
Korak 1. Standardna formula zahtijeva da nazivnik bude cijeli broj (ili polinom ako sadrži varijablu) što je više moguće
-
Ako se nazivnik sastoji od jednog pojma pod znakom korijena, kao što je […]/korijen (5), tada pomnožite i brojnik i nazivnik s tim korijenom da biste dobili […]*sqrt (5)/sqrt (5)*sqrt (5) = […]*korijen (5)/5.
Za kocke kocke ili više, pomnožite s odgovarajućim korijenom tako da nazivnik bude racionalan. Ako je nazivnik korijen^3 (5), pomnožite brojnik i nazivnik s sqrt^3 (5)^2
-
Ako se nazivnik sastoji od zbrajanja ili oduzimanja dva kvadratna korijena, poput sqrt (2) + sqrt (6), pomnožite kvantifikator i nazivnik s njihovom konjugacijom, što je istog oblika, ali sa suprotnim predznakom. Tada je […]/(korijen (2) + korijen (6)) = […] (korijen (2) -korijen (6))/(korijen (2) + korijen (6)) (korijen (2) -korijen (6)). Zatim upotrijebite formulu identiteta za razliku dva kvadrata [(a + b) (ab) = a^2-b^2] za racionalizaciju nazivnika, za pojednostavljenje (sqrt (2) + sqrt (6)) (sqrt (2) -sqrt (6)) = sqrt (2)^2 -sqrt (6)^2 = 2-6 = -4.
- To se također odnosi na nazivnike poput 5 + sqrt (3) jer su svi cijeli brojevi korijeni drugih cijelih brojeva. [1/(5 + sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5 + sqrt (3)) (5-sqrt (3)) = (5-sqrt (3))/(5^ 2-sqrt (3)^2) = (5-sqrt (3))/(25-3) = (5-sqrt (3))/22]
- Ova se metoda odnosi i na dodavanje korijena kao što je sqrt (5) -sqrt (6)+sqrt (7). Ako ih grupirate u (sqrt (5) -sqrt (6))+sqrt (7) i pomnožite s (sqrt (5) -sqrt (6))-sqrt (7), odgovor nije u racionalnom obliku, već još uvijek u a+b*korijenu (30) gdje su a i b već racionalni brojevi. Zatim ponovite postupak s konjugatima a+b*sqrt (30) i (a+b*sqrt (30)) (a-b*sqrt (30)) bit će racionalno. U biti, ako pomoću ovog trika možete ukloniti jedan znak korijena u nazivniku, možete ga ponoviti mnogo puta kako biste uklonili sve korijene.
- Ova se metoda može koristiti i za nazivnike koji sadrže viši korijen, kao što je četvrti korijen od 3 ili sedmi korijen od 9. Pomnožite brojnik i nazivnik konjugatom nazivnika. Nažalost, ne možemo izravno dobiti konjugat nazivnika, a to je teško učiniti. Odgovor možemo pronaći u knjizi o algebri o teoriji brojeva, ali neću ulaziti u to.
Korak 2. Sada je nazivnik u racionalnom obliku, ali brojnik izgleda u neredu
Sada sve što trebate učiniti je pomnožiti s konjugatom nazivnika. Samo naprijed i množimo kao što bismo množili polinome. Provjerite mogu li se neki pojmovi izostaviti, pojednostaviti ili kombinirati, ako je moguće.
Korak 3. Ako je nazivnik cijeli negativni broj, pomnožite i brojnik i nazivnik s -1 kako bi bili pozitivni
Savjeti
- Na internetu možete pretraživati web stranice koje mogu pomoći pojednostavljenju korijenskih obrazaca. Jednostavno upišite jednadžbu s predznakom i nakon pritiska na Enter pojavit će se odgovor.
- Za jednostavnija pitanja ne smijete koristiti sve korake u ovom članku. Za složenija pitanja možda ćete morati koristiti nekoliko koraka više puta. Upotrijebite "jednostavne" korake nekoliko puta i provjerite odgovara li vaš odgovor standardnim kriterijima formuliranja o kojima smo ranije govorili. Ako je vaš odgovor u standardnoj formuli, gotovi ste; ali ako ne, možete provjeriti jedan od gore navedenih koraka koji će vam pomoći u tome.
- Većina referenci na "preporučenu standardnu formulu" za oblik korijena također se odnosi na složene brojeve (i = korijen (-1)). Čak i ako izjava sadrži "i" umjesto korijena, izbjegavajte nazivnike koji i dalje sadrže i što je više moguće.
- Neke od uputa u ovom članku pretpostavljaju da su svi korijeni kvadrati. Ista opća načela vrijede za korijene viših sila, iako s nekim dijelovima (osobito racionalizacijom nazivnika) može biti prilično teško raditi. Sami odlučite koji oblik želite, na primjer sqr^3 (4) ili sqr^3 (2)^2. (Ne sjećam se koji se oblik obično predlaže u udžbenicima).
- Neka uputstva u ovom članku koriste riječ "standardna formula" za opis "regularnog oblika". Razlika je u tome što standardna formula prihvaća samo oblik 1+sqrt (2) ili sqrt (2) +1 i smatra druge oblike nestandardnim; Običan oblik pretpostavlja da ste vi, čitatelju, dovoljno pametni da vidite "sličnost" ova dva broja iako nisu identični u pisanju ('isto' znači u svom aritmetičkom svojstvu (komutativni zbroj), a ne u njihovom algebarskom svojstvu (korijen) (2) je korijen nenegativan od x^2-2)). Nadamo se da će čitatelji razumjeti blagu nemarnost u korištenju ove terminologije.
- Ako vam se neki od tragova čini dvosmislen ili proturječan, učinite sve korake koji su nedvosmisleni i dosljedni, a zatim odaberite željeni oblik.
