3 načina pojednostavljenja algebarskih izraza

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-15 08:16

Učenje pojednostavljivanja algebarskih izraza jedan je od ključeva za savladavanje osnovne algebre i najkorisniji alat koji svaki matematičar mora imati. Pojednostavljivanje omogućuje matematičarima pretvaranje složenih, dugih i/ili neparnih izraza u jednostavnije ili lakše ekvivalentne izraze. Osnovne vještine pojednostavljenja vrlo je lako naučiti - čak i za one koji mrze matematiku. Slijedeći nekoliko jednostavnih koraka, moguće je pojednostaviti mnoge najčešće korištene vrste algebarskih izraza, bez korištenja posebnih znanja iz matematike. Za početak pogledajte 1. korak!

Korak

Razumijevanje važnih koncepata

Korak 1. Grupirajte pojmove poput njihovih varijabli i moći

U algebri slični pojmovi imaju istu promjenjivu konfiguraciju, s istom snagom. Drugim riječima, da bi dva izraza bila jednaka, moraju imati istu varijablu ili je uopće nema, a svaka varijabla ima istu moć ili nema eksponenta. Redoslijed varijabli u terminima nije važan.

Na primjer, 3x² i 4x² slični su izrazi jer oboje imaju varijablu x s moći kvadrata. Međutim, x i x² nisu poput izraza jer svaki pojam ima varijablu x s različitom snagom. Gotovo isti, -3yx i 5xz nisu slični izrazi jer svaki pojam ima različitu varijablu.

Korak 2. Faktor pisanjem broja kao produkta dva faktora

Faktoring je koncept zapisivanja zadanog broja kao umnožaka dva faktora koji se množe. Brojevi mogu imati više od jednog skupa faktora - na primjer, 12 se može dobiti iz 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4, pa možemo reći da su 1, 2, 3, 4, 6 i 12 čimbenici od 12 Drugi način zamišljanja je da su čimbenici broja brojevi koji dijele brojnu cjelinu.

• Na primjer, ako želimo faktor 20, mogli bismo to napisati kao 4 × 5.
• Imajte na umu da se varijabilni pojmovi također mogu uzeti u obzir. -20x, na primjer, može se napisati kao 4 (5x).
• Prosti brojevi se ne mogu uzeti u obzir jer se mogu podijeliti samo sami sa sobom i 1.

Korak 3. Upotrijebite akronim KaPaK BoTaK da biste zapamtili redoslijed operacija

Ponekad pojednostavljenje izraza jednostavno rješava operaciju u jednadžbi sve dok više ne može funkcionirati. U tim je slučajevima vrlo važno zapamtiti redoslijed operacija kako se ne bi dogodile aritmetičke pogreške. Skraćenica KaPaK BoTaK pomoći će vam da zapamtite redoslijed operacija - slova označavaju vrste operacija koje trebate izvesti, redoslijedom:

• Kiznevjeriti
• Plift
• Kali
• Bopet
• Tdodati
• K škampi

Metoda 1 od 3: Spoji slične uvjete

Korak 1. Zapišite svoju jednadžbu

Najjednostavnije algebarske jednadžbe, koje uključuju samo nekoliko varijabilnih pojmova s cjelobrojnim koeficijentima i bez razlomka, korijena itd., Često se mogu riješiti u samo nekoliko koraka. Za većinu matematičkih problema prvi korak pojednostavljivanja vaše jednadžbe je njezino zapisivanje!

Kao primjer problema, za sljedećih nekoliko koraka koristimo izraz 1 + 2x - 3 + 4x.

Korak 2. Identificirajte slična plemena

Zatim potražite slične izraze u svojoj jednadžbi. Upamtite da slični pojmovi imaju istu varijablu i eksponent.

Na primjer, identificirajmo slične izraze u našoj jednadžbi 1 + 2x - 3 + 4x. 2x i 4x imaju istu varijablu s istom snagom (u ovom slučaju x nema eksponent). Također, 1 i -3 su slični pojmovi jer nemaju varijable. Dakle, u našoj jednadžbi, 2x i 4x i 1 i -3 slična su plemena.

Korak 3. Kombinirajte slične izraze

Sada kada ste identificirali slične pojmove, možete ih kombinirati kako biste pojednostavili jednadžbu. Dodajte pojmove (ili oduzmite u slučaju negativnih pojmova) da biste smanjili skup pojmova s istom varijablom i eksponentom na jedan jednaki član.

• Dodajmo slične izraze u naš primjer.

  • 2x + 4x = 6x
  • 1 + -3 = - 2

Korak 4. Napravite jednostavniju jednadžbu iz pojednostavljenih pojmova

Nakon što spojite slične pojmove, napravite jednadžbu iz novog, manjeg broja pojmova. Dobit ćete jednostavniju jednadžbu koja ima jedan pojam za različite skupove varijabli i moći u izvornoj jednadžbi. Ova nova jednadžba ekvivalentna je izvornoj jednadžbi.

U našem primjeru naši su pojednostavljeni pojmovi 6x i -2, pa je naša nova jednadžba 6x - 2. Ova jednostavna jednadžba ekvivalentna je izvorniku (1 + 2x - 3 + 4x), ali je kraća i lakša za rad. Lakše je i faktoring, što ćemo pogledati u nastavku, što je još jedna važna vještina pojednostavljivanja.

Korak 5. Slijedite redoslijed operacija pri kombiniranju sličnih izraza

U vrlo jednostavnim jednadžbama poput one na kojoj smo radili u gornjem primjeru problema, identificiranje sličnih pojmova je jednostavno. Međutim, u složenijim jednadžbama, poput izraza koji uključuju zagrade, razlomke i korijene, poput pojmova koji se mogu kombinirati možda neće biti jasno vidljivi. U tim slučajevima slijedite redoslijed operacija, izvodeći operacije pojmova u vašem izrazu po potrebi sve dok operacije zbrajanja i oduzimanja ne ostanu.

• Na primjer, upotrijebimo jednadžbu 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x. Bilo bi pogrešno odmah smatrati 3x i 2x sličnim pojmovima i kombinirati ih jer zagrade u izrazu ukazuju na to da prvo moramo obaviti druge operacije. Prvo izvodimo aritmetičke operacije nad izrazom po redoslijedu operacija kako bismo dobili izraze koje možemo koristiti. Pogledajte sljedeće:

  • 5 (3x -1) + x ((2x)/(2)) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x (x) + 8 - 3x
  • 15x - 5 + x² + 8 - 3x. Sada, budući da su jedine preostale operacije zbrajanje i oduzimanje, možemo kombinirati slične pojmove.
  • x² + (15x - 3x) + (8 - 5)
  • x² + 12x + 3

Metoda 2 od 3: Faktoring

Korak 1. Identificirajte najveći zajednički faktor u izrazu

Faktoring je način pojednostavljenja izraza uklanjanjem faktora koji su isti u svim istim izrazima u izrazu. Za početak, pronađite najveći zajednički faktor koji imaju svi pojmovi - drugim riječima, najveći broj koji dijeli sve pojmove u izrazu cjelina.

• Upotrijebimo jednadžbu 9x² + 27x - 3. Uočite da je svaki član u ovoj jednadžbi djeljiv sa 3. Budući da se članovi ne dijele s većim brojem, možemo reći da

  Korak 3. je naš najveći zajednički faktor.

Korak 2. Podijelite pojmove u izrazu najvećim zajedničkim faktorom

Zatim podijelite svaki pojam u svojoj jednadžbi s najvećim zajedničkim faktorom koji ste upravo pronašli. Količinski izrazi imat će manji koeficijent od izvorne jednadžbe.

• Faktorirajmo našu jednadžbu s najvećim zajedničkim faktorom 3. Kako bismo to učinili, svaki ćemo izraz podijeliti s 3.

  • 9x²/3 = 3x²
  • 27x/3 = 9x
  • -3/3 = -1
  • Dakle, naš novi izraz je 3x² + 9x - 1.

Korak 3. Napišite svoj izraz kao umnožak najvećeg zajedničkog faktora pomnoženog s preostalim pojmovima

Vaš novi izraz nije ekvivalentan vašem izvornom izrazu, pa bi bilo netočno reći da je izraz pojednostavljen. Da bi naš novi izraz bio jednak izvorniku, moramo uključiti činjenicu da je naš izraz podijeljen najvećim zajedničkim faktorom. Zatvorite svoj novi izraz u zagrade i napišite najveći zajednički faktor izvorne jednadžbe kao koeficijent izraza u zagradi.

Za naš primjer jednadžbe, 3x² + 9x - 1, izraz možemo staviti u zagrade i pomnožiti s najvećim zajedničkim faktorom izvorne jednadžbe kako bismo dobili 3 (3x² + 9x - 1). Ova je jednadžba ekvivalentna izvornoj jednadžbi, 9x² +27x - 3.

Korak 4. Pomoću faktoringa pojednostavite razlomke

Možda se sada pitate zašto se koristi faktoring, ako se čak i nakon uklanjanja najvećeg zajedničkog faktora novi izraz mora ponovno pomnožiti s tim faktorom. Zapravo, faktoring omogućuje matematičarima izvođenje različitih trikova radi pojednostavljenja izraza. Jedan od njegovih najlakših trikova koristi činjenicu da se množenjem brojnika i nazivnika razlomka s istim brojem mogu dobiti ekvivalentni razlomci. Pogledajte sljedeće:

• Recite naš početni primjer izraza, 9x² + 27x - 3, kvantifikator je većeg razlomka s 3 kao brojnikom. Razlomak će izgledati ovako: (9x² + 27x - 3)/3. Faktoring možemo upotrijebiti za pojednostavljenje razlomaka.

  • Zamijenimo faktoring oblik našeg izvornog izraza izrazom u brojniku: (3 (3x² + 9x - 1))/3
  • Primijetite da sada i brojnik i nazivnik imaju koeficijent 3. Podijelivši brojnik i nazivnik s 3, dobivamo: (3x² + 9x - 1)/1.
  • Budući da je svaki razlomak s nazivnikom 1 ekvivalentan pojmovima u brojniku, možemo reći da se naš početni razlomak može pojednostaviti na 3x² + 9x - 1.

Metoda 3 od 3: Primjena dodatnih vještina pojednostavljenja

Korak 1. Pojednostavite razlomke dijeljenjem s istim faktorima

Kao što je gore navedeno, ako brojnik i nazivnik jednadžbe imaju iste čimbenike, ti se čimbenici mogu potpuno izostaviti u razlomku. Ponekad će to zahtijevati faktoring u brojiocu, nazivniku ili oboje (kao što je slučaj u gore navedenom primjeru), dok su ponekad isti čimbenici često očiti. Imajte na umu da je također moguće podijeliti pojmove brojnika jednadžbom u nazivniku jedan po jedan kako bi se dobio jednostavan izraz.

• Poradimo na primjeru koji ne zahtijeva faktoring. Za razlomke (5x² + 10x + 20)/10, možemo podijeliti svaki pojam u brojniku za 10 kako bismo pojednostavili, čak i ako je koeficijent 5 u 5x² nije veći od 10 pa stoga 10 nije faktor.

  Ako to učinimo, dobit ćemo ((5x²)/10) + x + 2. Kad bismo htjeli, mogli bismo prvi izraz prepisati kao (1/2) x² pa dobivamo (1/2) x² +x+2.

Korak 2. Upotrijebite kvadratne faktore da pojednostavite korijene

Izraz pod znakom korijena naziva se izraz korijena. Ovaj izraz može se pojednostaviti identificiranjem na kvadrat faktora (faktora koji su kvadrati cijelih brojeva) i zasebnom izvedbom operacije kvadratnog korijena kako bi se uklonili ispod znaka kvadratnog korijena.

• Napravimo jednostavan primjer - (90). Ako 90 smatramo proizvodom njegova dva faktora, 9 i 10, možemo uzeti kvadratni korijen 9 koji je cijeli broj 3 i ukloniti ga iz radikalnog znaka. Drugim riječima:

  • √(90)
  • √(9 × 10)
  • (√(9) × √(10))
  • 3 × √(10)
  • 3√(10)

Korak 3. Dodajte eksponente pri množenju dva eksponenta; oduzeti pri dijeljenju

Neki algebarski izrazi zahtijevaju množenje ili dijeljenje pojmova moći. Umjesto da ručno izračunate ili podijelite svaki eksponent, samo dodajte eksponente pri množenju i oduzmite pri dijeljenju kako biste uštedjeli vrijeme. Ovaj se koncept može koristiti i za pojednostavljivanje varijabilnih izraza.

• Na primjer, upotrijebimo izraz 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵). U svakom slučaju gdje je potrebno množenje ili dijeljenje eksponenata, oduzet ćemo ili dodati eksponente, kako bismo brzo pronašli jednostavan izraz. Pogledajte sljedeće:

  • 6x³ × 8x⁴ + (x¹⁷/x¹⁵)
  • (6 × 8) x^{3 + 4} + (x^{17 - 15})
  • 48x⁷ +x²

• Za objašnjenje kako to funkcionira, pogledajte dolje:

  • Množenje pojmova u eksponentima zapravo je poput množenja pojmova ne u dugim eksponentima. Na primjer, jer x³ = x × x × x i x ⁵ = x × x × x × x × x, x³ × x⁵ = (x × x × x) × (x × x × x × x × x) ili x⁸.
  • Gotovo isto, dijeljenje eksponenata je poput dijeljenja pojmova, a ne dugih eksponenata. x⁵/x³ = (x × x × x × x × x)/(x × x × x). Budući da se svaki pojam u brojniku može precrtati pronalaskom istog pojma u nazivniku, u brojniku su ostala samo dva x, a pri dnu ništa nije ostalo, što daje odgovor x².

Savjeti

• Uvijek zapamtite da ove brojeve morate zamisliti kao pozitivne i negativne. Mnogi ljudi zastanu razmišljati o tome koji znak trebam staviti ovdje?
• Zatražite pomoć ako vam zatreba!
• Pojednostavljivanje algebarskih izraza nije lako, ali jednom kad to shvatite, koristit ćete ga do kraja života.

Upozorenje

• Uvijek tražite slična plemena i nemojte se zavaravati po činu.
• Pazite da ne dodate brojeve, ovlaštenja ili operacije koje ne bi trebale biti slučajno.