Svaka funkcija ima dvije varijable, naime neovisnu varijablu i ovisnu varijablu. Doslovno vrijednost ovisne varijable "ovisi" o neovisnoj varijabli. Na primjer, u funkciji y = f (x) = 2 x + y, x je neovisna varijabla, a y ovisna varijabla (drugim riječima, y je funkcija od x). Valjane vrijednosti za poznatu varijablu x nazivaju se "domene podrijetla". Valjane vrijednosti za poznatu y varijablu nazivaju se "raspon rezultata".
Korak
1. dio od 3: Pronalaženje domene funkcije
Korak 1. Odlučite koju ćete vrstu funkcije obavljati
Domena funkcije su sve x-vrijednosti (vodoravna os) koje će vratiti valjane y-vrijednosti. Jednadžba funkcije može biti kvadratna, razlomljena ili sadržavati korijen. Za izračun domene funkcije, prvo što morate učiniti je ispitati varijable u jednadžbi.
- Kvadratna funkcija ima oblik ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4
- Primjeri funkcija s razlomacima uključuju: f (x) = (1/x), f (x) = (x+1)/(x - 1), i drugi.
- Funkcije koje imaju korijene uključuju: f (x) = x, f (x) = (x2 + 1), f (x) = -x, itd.
Korak 2. Zapišite domenu s odgovarajućim zapisom
Pisanje domene funkcije uključuje uporabu uglatih zagrada [,] kao i zagrada (,). Koristite uglate zagrade [,] ako broj pripada domeni i koristite zagrade (,) ako domena ne uključuje broj. Slovo U označava uniju koja povezuje dijelove domene koji se mogu odvojiti udaljenošću.
- Na primjer, domena [-2, 10) U (10, 2] uključuje -2 i 2, ali ne uključuje broj 10.
- Uvijek koristite zagrade () ako koristite simbol beskonačnosti,.
Korak 3. Nacrtajte graf kvadratne jednadžbe
Kvadratne jednadžbe proizvode parabolički graf koji se otvara prema gore ili prema dolje. S obzirom na to da će parabola nastaviti beskonačno na osi x, domena većine kvadratnih jednadžbi su svi stvarni brojevi. Drugim riječima, kvadratna jednadžba uključuje sve x vrijednosti na numeričkoj liniji, dajući domenu R (simbol za sve realne brojeve).
- Da biste riješili funkciju, odaberite bilo koju vrijednost x i unesite je u funkciju. Rješavanje funkcije s x-vrijednošću vratit će y-vrijednost. Vrijednosti x i y su (x, y) koordinate grafa funkcije.
- Iscrtajte ove koordinate na grafikonu i ponovite postupak s drugom x-vrijednošću.
- Iscrtavanjem nekih vrijednosti u ovom modelu dobit ćete pregled oblika kvadratne funkcije.
Korak 4. Ako je jednadžba funkcije razlomak, nazivnik učinite jednakim nuli
Kada radite s razlomcima, nikada ne možete podijeliti s nulom. Ako nazivnik bude jednak nuli i pronađete vrijednost x, možete izračunati vrijednosti koje ćete izvući iz funkcije.
- Na primjer: Odredite područje funkcije f (x) = (x+1)/(x - 1).
- Nazivnik funkcije je (x - 1).
- Učinite nazivnik jednakim nuli i izračunajte vrijednost x: x - 1 = 0, x = 1.
- Zapišite domenu: Domena funkcije ne uključuje 1, već uključuje sve stvarne brojeve osim 1; stoga je domena (-∞, 1) U (1,).
- (-∞, 1) U (1,) se može čitati kao zbirka svih realnih brojeva osim 1. Simbol za beskonačnost,, predstavlja sve realne brojeve. U ovom slučaju, svi realni brojevi veći od 1 i manji od 1 uključeni su u domenu.
Korak 5. Ako je jednadžba korijenska funkcija, učinite korijenske varijable većima ili jednakim nuli
Ne možete koristiti kvadratni korijen negativnog broja; stoga se svaka x-vrijednost koja vodi do negativnog broja mora ukloniti iz domene funkcije.
- Na primjer: Pronađite domenu funkcije f (x) = (x + 3).
- Varijable u korijenu su (x + 3).
- Neka vrijednost bude veća ili jednaka nuli: (x + 3) 0.
- Izračunajte vrijednost za x: x -3. Riješite za x: x -3.
- Područje funkcije uključuje sve realne brojeve veće ili jednake -3; stoga je domena [-3,).
Dio 2 od 3: Pronalaženje raspona kvadratne jednadžbe
Korak 1. Provjerite imate li kvadratnu funkciju
Kvadratna funkcija ima oblik ax2 + bx + c: f (x) = 2x2 + 3x + 4. Graf kvadratne funkcije je parabola koja se otvara prema gore ili prema dolje. Postoje različiti načini izračunavanja raspona funkcije ovisno o vrsti funkcije na kojoj radite.
Najjednostavniji način za određivanje raspona drugih funkcija, kao što je funkcija korijena ili funkcija razlomka, je grafički prikazati funkciju pomoću grafičkog kalkulatora
Korak 2. Pronađite x vrijednost vrha funkcije
Vrh kvadratne funkcije je vrh parabole. Upamtite, oblik kvadratne funkcije je ax2 + bx + c. Za pronalaženje koordinate x upotrijebite jednadžbu x = -b/2a. Jednadžba je izvedenica osnovne kvadratne funkcije koja predstavlja jednadžbu s nultom nagibom/nagibom (na vrhu grafikona gradijent funkcije je nula).
- Na primjer, pronađite raspon 3x2 + 6x -2.
- Izračunajte x -koordinatu vrha: x = -b/2a = -6/(2*3) = -1
Korak 3. Izračunajte y-vrijednost vrha funkcije
Uključite x-koordinatu u funkciju kako biste izračunali odgovarajuću y-vrijednost vrha. Ova vrijednost y označava ograničenje raspona funkcije.
- Izračunajte y-koordinatu: y = 3x2 + 6x-2 = 3 (-1)2 + 6(-1) -2 = -5.
- Vrh ove funkcije je (-1, -5).
Korak 4. Odredite smjer parabole uključivanjem barem još jedne x-vrijednosti
Odaberite bilo koju drugu vrijednost x i uključite je u funkciju kako biste izračunali odgovarajuću vrijednost y. Ako je vrijednost y iznad vrha, parabola nastavlja do +∞. Ako je vrijednost y ispod vrha, parabola će nastaviti na -∞.
- Koristite x -vrijednost -2: y = 3x2 + 6x-2 = y = 3 (-2)2 + 6(-2) – 2 = 12 -12 -2 = -2.
- Ovaj izračun vraća koordinate (-2, -2).
- Ove koordinate pokazuju vam da se parabola nastavlja iznad vrha (-1, -5); stoga raspon uključuje sve y -vrijednosti veće od -5.
- Raspon ove funkcije je [-5,).
Korak 5. Zapišite raspon s odgovarajućom oznakom
Kao i domene, rasponi se pišu istim zapisom. Koristite uglate zagrade [,] ako je broj u rasponu i koristite zagrade (,) ako raspon ne uključuje broj. Slovo U označava uniju koja povezuje dijelove raspona koji se mogu odvojiti udaljenošću.
- Na primjer, raspon [-2, 10) U (10, 2] uključuje -2 i 2, ali ne uključuje broj 10.
- Uvijek koristite zagrade ako koristite simbol beskonačnosti,.
Dio 3 od 3: Pronalaženje raspona iz grafikona funkcije
Korak 1. Nacrtajte funkciju
Često je najlakši način da se odredi raspon funkcije u grafikonu. Mnoge korijenske funkcije imaju raspon (-∞, 0] ili [0, +∞) jer je vrh vodoravne parabole (bočna parabola) na vodoravnoj osi x. U tom slučaju funkcija uključuje sve pozitivne y-vrijednosti ako se parabola otvori, ili sve negativne y-vrijednosti ako se parabola otvori prema dolje. Frakcijske funkcije imat će asimptote (linije koje se nikada ne režu ravnom linijom / krivuljom, već im se pristupa beskonačno) koje definiraju raspon funkcije.
- Neke funkcije korijena počet će iznad ili ispod osi x. U tom slučaju raspon je određen brojem na kojem počinje funkcija korijena. Ako parabola počinje na y = -4 i ide prema gore, raspon je [-4, +∞).
- Najlakši način za crtanje funkcije je korištenje programa za grafičko prikazivanje ili grafičkog kalkulatora.
- Ako nemate grafički kalkulator, možete nacrtati grubu skicu grafikona uključivanjem x-vrijednosti u funkciju i dobivanjem odgovarajuće y-vrijednosti. Iscrtajte ove koordinate na grafikonu kako biste stekli predodžbu o tome kako grafikon izgleda.
Korak 2. Pronađite minimalnu vrijednost funkcije
Odmah nakon crtanja funkcije trebali biste moći jasno vidjeti najnižu točku grafikona. Ako nema jasne minimalne vrijednosti, znajte da će se neke funkcije nastaviti pri -∞ (beskonačnost).
Funkcija razlomka uključivat će sve točke osim onih na asimptotama. Funkcija ima raspon poput (-∞, 6) U (6,)
Korak 3. Odredite najveću vrijednost funkcije
Opet, nakon crtanja grafikona, trebali biste moći identificirati maksimalnu točku funkcije. Neke će se funkcije nastaviti pri +∞ i stoga neće imati minimalnu vrijednost.
Korak 4. Napišite raspon odgovarajućim zapisom
Kao i domene, rasponi se pišu istim zapisom. Koristite uglate zagrade [,] ako je broj u rasponu i koristite zagrade (,) ako raspon ne uključuje broj. Slovo U označava uniju koja povezuje dijelove raspona koji se mogu odvojiti udaljenošću.
- Na primjer, raspon [-2, 10) U (10, 2] uključuje -2 i 2, ali ne uključuje broj 10.
- Uvijek koristite zagrade ako koristite simbol beskonačnosti,.
