Dva razlomka su ekvivalentna ako imaju istu vrijednost. Znati pretvoriti razlomke u njihove ekvivalentne oblike iznimno je važna matematička vještina, potrebna za sve oblike matematike, od osnovne algebre do naprednog računa. Ovaj će članak pružiti nekoliko načina za izračunavanje ekvivalentnih razlomaka od osnovnog množenja i dijeljenja do složenijih načina rješavanja ekvivalentnih frakcijskih jednadžbi.
Korak
Metoda 1 od 5: Raspoređivanje ekvivalentnih razlomaka
Korak 1. Pomnožite brojnik i nazivnik istim brojem
Dva različita, ali ekvivalentna razlomka imaju, po definiciji, brojnik i nazivnik koji su međusobno višekratnici. Drugim riječima, množenjem brojnika i nazivnika razlomka s istim brojem dobit će se ekvivalentni razlomci. Iako će brojevi u novom razlomku biti različiti, razlomci će imati istu vrijednost.
- Na primjer, ako uzmemo razlomak 4/8 i pomnožimo brojnik i nazivnik s 2, dobit ćemo (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Ova dva razlomka su ekvivalentna.
- (4 × 2)/(8 × 2) zapravo je isto što i 4/8 × 2/2. Upamtite da pri množenju dva razlomka množimo ravno, što znači da je brojnik brojnikom, a nazivnik nazivnikom.
- Imajte na umu da je 2/2 jednako 1 ako napravite podjelu. Tako je lakše razumjeti zašto su 4/8 i 8/16 ekvivalentni jer množenje 4/8 × (2/2) = ostaje 4/8. Na isti način, isto je kao kad kažete 4/8 = 8/16.
- Bilo koji dati razlomak ima beskonačan broj ekvivalentnih razlomaka. Možete pomnožiti i brojnik i nazivnik s bilo kojim cijelim brojem, bez obzira na veličinu ili mali, da biste dobili ekvivalentni razlomak.
Korak 2. Podijelite brojnik i nazivnik istim brojem
Kao i množenje, dijeljenje se također može koristiti za pronalaženje novog razlomka koji je ekvivalentan vašem izvornom razlomku. Samo podijelite brojnik i nazivnik razlomka s istim brojem da biste dobili ekvivalentni razlomak. Ovaj proces ima jedan nedostatak - konačni razlomak mora imati cijele brojeve u brojniku i nazivniku da bi bio istinit.
Na primjer, osvrnimo se na 4/8. Ako umjesto množenja podijelimo i brojnik i nazivnik s 2, dobit ćemo (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 i 4 su cijeli brojevi, pa su ti ekvivalentni razlomci točni
Metoda 2 od 5: Korištenje osnovnog množenja za određivanje jednakosti
Korak 1. Pronađite broj koji se mora pomnožiti s manjim nazivnikom da biste dobili veći nazivnik
Mnogi problemi vezani uz razlomke uključuju utvrđivanje jesu li dva razlomka ekvivalentna. Izračunavanjem ovog broja možete početi izjednačavati razlomke radi utvrđivanja jednakosti.
- Na primjer, ponovno koristite razlomke 4/8 i 8/16. Manji nazivnik je 8 i moramo pomnožiti broj s 2 da bismo dobili veći nazivnik, što je 16. Dakle, broj u ovom slučaju je 2.
- Za teže brojeve, možete podijeliti veći nazivnik na manji nazivnik. U ovom slučaju, 16 je podijeljeno s 8, što i dalje daje 2.
- Broj nije uvijek cijeli broj. Na primjer, ako su nazivnici 2 i 7, tada je broj 3, 5.
Korak 2. Pomnožite brojnik i nazivnik razlomka koji ima manji član s brojem iz prvog koraka
Dva različita, ali ekvivalentna razlomka imaju, po definiciji, brojnik i nazivnik koji su međusobno višekratnici. Drugim riječima, množenjem brojnika i nazivnika razlomka s istim brojem dobit će se ekvivalentni razlomak. Iako će brojevi u ovom novom razlomku biti različiti, ti će razlomci imati istu vrijednost.
Na primjer, ako koristimo razlomak 4/8 iz prvog koraka i pomnožimo brojnik i nazivnik s brojem koji smo ranije definirali, a to je 2, dobivamo (4 × 2)/(8 × 2) = 8/16. Ovaj rezultat dokazuje da su ove dvije frakcije ekvivalentne.
Metoda 3 od 5: Korištenje osnovne podjele za utvrđivanje jednakosti
Korak 1. Svaki razlomak računajte kao decimalni broj
Za jednostavne razlomke bez varijabli, svaki razlomak možete predstaviti kao decimalni broj kako biste odredili jednakost. Budući da je svaki razlomak zapravo problem podjele, ovo je najjednostavniji način za utvrđivanje jednakosti.
- Na primjer, upotrijebite razlomak koji smo ranije koristili, 4/8. Razlomak 4/8 ekvivalentan je riječi 4 podijeljeno s 8, što je 4/8 = 0,5. Možete riješiti i drugi primjer, koji je 8/16 = 0,5. Bez obzira na pojmove u razlomku, razlomak je ekvivalentan ako su oba broja jednaka ako su predstavljena u decimalnom obliku.
- Imajte na umu da decimalni izrazi mogu imati više znamenki prije nego što je jednakost očita. Kao osnovni primjer, 1/3 = 0,333 se ponavlja, dok 3/10 = 0,3. Koristeći više od jedne znamenke, vidimo da ta dva razlomka nisu ekvivalentna.
Korak 2. Podijelite brojnik i nazivnik razlomka s istim brojem kako biste dobili ekvivalentni razlomak
Za složenije razlomke, metoda podjele zahtijeva dodatne korake. Dok množenjem, možete podijeliti brojnik i nazivnik razlomka na isti broj kako biste dobili ekvivalentni razlomak. Ovaj proces ima jedan nedostatak. Završni razlomak mora imati cijele brojeve u brojniku i nazivniku da bi bio istinit.
Na primjer, osvrnimo se na 4/8. Ako umjesto množenja podijelimo brojnik i nazivnik s 2, dobivamo (4 2)/(8 2) = 2/4. 2 i 4 su cijeli brojevi, pa su ti ekvivalentni razlomci točni.
Korak 3. Pojednostavite razlomke na njihove najjednostavnije izraze
Većina se razlomaka obično piše najjednostavnijim izrazima, a razlomke možete pretvoriti u njihov najjednostavniji oblik dijeljenjem s najvećim zajedničkim faktorom (GCF). Ovaj se korak izvodi istom logikom kao i pisanje ekvivalentnih razlomaka, pretvarajući ih u isti nazivnik, ali ova metoda pokušava pojednostaviti svaki razlomak na njegove najmanje moguće izraze.
- Kad je razlomak u svom najjednostavnijem obliku, brojnik i nazivnik imaju najmanje moguće vrijednosti. Obje se ne mogu podijeliti bilo kojim cijelim brojem kako bi se dobila manja vrijednost. Za pretvaranje razlomka koji nije u svom najjednostavnijem obliku u najjednostavniji ekvivalentni oblik, brojnik i nazivnik dijelimo po najvećem zajedničkom faktoru.
-
Najveći zajednički faktor (GCF) brojnika i nazivnika najveći je broj koji ih dijeli kako bi se dobio cjelobrojni rezultat. Dakle, u našem primjeru 4/8, jer
Korak 4. je najveći broj koji je djeljiv s 4 i 8, podijelit ćemo brojnik i nazivnik našeg razlomka sa 4 kako bismo dobili najjednostavnije pojmove. (4 4)/(8 4) = 1/2. Za naš drugi primjer, 8/16, GCF je 8, što također vraća vrijednost 1/2 kao najjednostavniji izraz razlomka.
Metoda 4 od 5: Korištenje unakrsnih proizvoda za pronalaženje varijabli
Korak 1. Rasporedite dva razlomka tako da budu jednaki
Koristimo unakrsno množenje za matematičke probleme za koje znamo da su razlomci ekvivalentni, ali jedan od brojeva zamijenjen je varijablom (obično x) koju moramo riješiti. U ovakvim slučajevima znamo da su ti razlomci ekvivalentni jer su jedini izrazi s druge strane znaka jednakosti, ali često način pronalaska varijable nije očit. Srećom, s unakrsnim množenjem rješavanje ovih vrsta problema je jednostavno.
Korak 2. Uzmite dva ekvivalentna razlomka i pomnožite ih s oblikom "X"
Drugim riječima, množite brojnik jednog razlomka s nazivnikom drugog razlomka i obrnuto, a zatim slažete dva odgovora tako da se međusobno slažu i rješavaju.
Uzmimo naša dva primjera, 4/8 i 8/16. Nijedna nema varijablu, ali možemo dokazati koncept jer već znamo da su ekvivalentne. Ukrštenim množenjem dobivamo 4/16 = 8 x 8 ili 64 = 64, što je točno. Ako ta dva broja nisu jednaka, onda razlomci nisu ekvivalentni
Korak 3. Dodajte varijable
Budući da je unakrsno množenje najlakši način za određivanje ekvivalentnih razlomaka kada morate pronaći varijable, dodajmo varijable.
-
Na primjer, upotrijebimo jednadžbu 2/x = 10/13. Da bismo ukrstili množenje, množimo 2 sa 13 i 10 sa x, a zatim postavljamo naše odgovore jednakima:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. Odavde je pronalaženje odgovora na našu varijablu jednostavan problem s algebrom. x = 26/10 = 2, 6, čineći početni ekvivalent razlomka 2/2, 6 = 10/13.
Korak 4. Upotrijebite unakrsno množenje za razlomke s više varijabli ili izraze varijabli
Jedna od najboljih stvari kod unakrsnog množenja je ta što zapravo radi na isti način, bez obzira radite li s dva jednostavna razlomka (kao što je gore navedeno) ili s složenijim razlomacima. Na primjer, ako oba razlomka imaju varijable, trebate samo eliminirati te varijable u procesu rješavanja. Slično, ako brojnik ili nazivnik vašeg razlomka ima promjenjiv izraz (poput x + 1), samo ga "pomnožite" pomoću svojstva distribucije i riješite kao i obično.
-
Na primjer, upotrijebimo jednadžbu ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4). U ovom slučaju, kao i gore, riješit ćemo to unakrsnim proizvodom:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12, tada razlomak možemo pojednostaviti oduzimanjem 2x s obje strane
- 2 = 2x + 12, tada izoliramo varijablu oduzimanjem 12 s obje strane
- -10 = 2x i podijelite s 2 da biste pronašli x
- - 5 = x
Metoda 5 od 5: Korištenje kvadratnih formula za pronalaženje varijabli
Korak 1. Prekrižite dvije frakcije
Za probleme jednakosti koji zahtijevaju kvadratnu formulu, ipak počinjemo koristiti unakrsni proizvod. Međutim, svaki umreženi proizvod koji uključuje množenje članova varijable pojmovima druge varijable vjerojatno će rezultirati izrazom koji se ne može lako riješiti pomoću algebre. U takvim slučajevima možda ćete morati koristiti tehnike poput faktoringa i/ili kvadratnih formula.
-
Na primjer, pogledajmo jednadžbu ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)). Prvo, prijeđimo množenje:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
Korak 2. Napišite jednadžbu kao kvadratnu jednadžbu
U ovom odjeljku ovu jednadžbu želimo zapisati u kvadratnom obliku (ax2 + bx + c = 0), što činimo postavljanjem jednadžbe jednake nuli. U ovom slučaju oduzimamo 12 s obje strane kako bismo dobili 2x2 - 14 = 0.
Neke vrijednosti mogu biti jednake 0. Iako 2x2 - 14 = 0 je najjednostavniji oblik naše jednadžbe, realna kvadratna jednadžba je 2x2 + 0x + (-14) = 0. Na početku bi moglo biti korisno zapisati oblik kvadratne jednadžbe čak i ako su neke vrijednosti jednake 0.
Korak 3. Riješite uključivanjem brojeva iz vaše kvadratne jednadžbe u kvadratnu formulu
Kvadratna formula (x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a) pomoći će nam da pronađemo našu vrijednost x u ovom odjeljku. Nemojte se bojati duljine formule. Vi samo preuzimate vrijednosti iz svoje kvadratne jednadžbe u drugom koraku i stavljate ih na prava mjesta prije nego ih riješite.
- x = (-b +/- (b2 - 4ac))/2a. U našoj jednadžbi 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 i c = -14.
- x = (-0 +/- (02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- (0 - -112))/2 (2)
- x = (+/- (112))/2 (2)
- x = (+/- 10,58/4)
- x = +/- 2, 64
Korak 4. Provjerite svoj odgovor ponovnim unosom vrijednosti x u vašu kvadratnu jednadžbu
Uključivanjem izračunate vrijednosti x natrag u vašu kvadratnu jednadžbu iz drugog koraka, lako možete utvrditi jeste li odgovorili točno. U ovom primjeru ćete 2, 64 i -2, 64 uključiti u izvornu kvadratnu jednadžbu.
Savjeti
- Pretvaranje razlomka u ekvivalent zapravo je oblik množenja razlomka sa 1. U pretvaranju 1/2 u 2/4, množenje brojnika i nazivnika s 2 isto je kao i množenje 1/2 s 2/2, što je jednako 1.
-
Po želji pretvorite mješoviti broj u zajednički razlomak kako biste olakšali pretvorbu. Naravno, neće sve frakcije na koje naiđete biti tako jednostavne kao pretvaranje našeg gore navedenog primjera 4/8. Na primjer, mješoviti brojevi (poput 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 itd.) Mogu učiniti proces pretvorbe malo kompliciranijim. Ako morate mješoviti broj pretvoriti u zajednički razlomak, to možete učiniti na dva načina: pretvaranjem mješovitog broja u zajednički razlomak, zatim pretvaranjem kao i obično, ili održavanjem oblika mješovitih brojeva i dobivanjem odgovora u obliku mješovitih brojeva.
- Za pretvaranje u zajednički razlomak pomnožite cjelobrojnu komponentu mješovitog broja s nazivnikom razlomljene komponente, a zatim dodajte brojniku. Na primjer, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3. Zatim, po želji, možete ga promijeniti prema potrebi. Na primjer, 5/3 × 2/2 = 10/6, koja ostaje jednaka 1 2/3.
- Međutim, ne moramo ga pretvoriti u uobičajeni razlomak kao gore. U suprotnom, ostavljamo cjelobrojnu komponentu na miru, mijenjamo samo frakcijsku komponentu i dodajemo cjelobrojnu komponentu nepromijenjenom. Na primjer, za 3 4/16 vidimo samo 4/16. 4/16 4/4 = 1/4. Dakle, dodavanjem naših cjelobrojnih komponenti natrag dobivamo novi mješoviti broj, 3 1/4.
Upozorenje
- Množenje i dijeljenje mogu se koristiti za dobivanje ekvivalentnih razlomaka jer množenje i dijeljenje s razlomačkim brojem broja 1 (2/2, 3/3 itd.) Daje odgovor koji je po definiciji ekvivalentan izvornom razlomku. Zbrajanje i oduzimanje ne mogu se koristiti.
-
Iako množite brojnike i nazivnike kada množite razlomke, ne zbrajate i ne oduzimate nazivnike kada zbrajate ili oduzimate razlomke.
Na primjer, gore, znamo da je 4/8 4/4 = 1/2. Zbrojimo li 4/4, dobivamo potpuno drugačiji odgovor. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 ili 3/2, nisu jednake 4/8.
