U danima prije nego što su izumljeni kalkulatori, studenti i profesori morali su ručno izračunati kvadratne korijene. Za prevladavanje ovog teškog procesa razvijeno je nekoliko različitih načina. Neki načini daju grubu procjenu, a drugi daju točnu vrijednost. Da biste saznali kako pronaći kvadratni korijen broja pomoću samo jednostavnih operacija, pogledajte 1. korak u nastavku za početak.
Korak
Metoda 1 od 2: Korištenje primarne faktorizacije
Korak 1. Podijelite svoj broj na savršene kvadratne faktore
Ova metoda koristi faktore broja za pronalaženje kvadratnog korijena broja (ovisno o broju, odgovor može biti točan broj ili približna aproksimacija). Čimbenici broja su skup drugih brojeva koji, kada se pomnože, proizvode taj broj. Na primjer, mogli biste reći da su faktori 8 2 i 4 jer je 2 × 4 = 8. U međuvremenu, savršeni kvadrati su cijeli brojevi koji su proizvod drugih cijelih brojeva. Na primjer, 25, 36 i 49 su savršeni kvadrati jer su 5 respektivno2, 62, i 72. Kao što ste mogli pretpostaviti, savršeni kvadratni čimbenici su čimbenici koji su ujedno i savršeni kvadrati. Za početak pronalaženja kvadratnog korijena pomoću proste faktorizacije, prvo pokušajte pojednostaviti svoj broj do njegovih savršenih kvadratnih čimbenika.
- Upotrijebimo primjer. Želimo ručno pronaći kvadratni korijen od 400. Za početak ćemo podijeliti broj na njegove savršene kvadratne faktore. Budući da je 400 višekratnik 100, znamo da je 400 djeljiv sa 25 - savršen kvadrat. Brzim dijeljenjem sjena otkrivamo da je 400 podijeljeno sa 25 jednako 16. Slučajno je 16 također savršen kvadrat. Dakle, savršeni kvadratni faktori od 400 su 25 i 16 jer je 25 × 16 = 400.
- Možemo to napisati kao: Sqrt (400) = Sqrt (25 × 16)
Korak 2. Pronađite kvadratni korijen svojih savršenih kvadratnih faktora
Svojstvo množenja kvadratnog korijena navodi da je za bilo koji broj a i b Sqrt (a × b) = Sqrt (a) × Sqrt (b). Zbog tog svojstva sada možemo pronaći kvadratni korijen naših savršenih kvadratnih faktora i pomnožiti ih kako bismo dobili odgovor.
-
U našem primjeru naći ćemo kvadratne korijene 25 i 16. Vidi dolje:
- Korijen (25 × 16)
- Korijen (25) × Korijen (16)
-
5 × 4 =
Korak 20.
Korak 3. Ako se vaš broj ne može savršeno uzeti u obzir, pojednostavite svoj odgovor u najjednostavniji oblik
U stvarnom životu često brojevi za koje trebate pronaći kvadratni korijen nisu ugodni cijeli brojevi s očito savršenim kvadratnim faktorima poput 400. U tim je slučajevima moguće da ne možemo pronaći pravi odgovor kao cijeli broj. Međutim, pronalaskom što više savršenih kvadratnih čimbenika možete pronaći odgovor, možete pronaći odgovor u obliku kvadratnog korijena koji je manji, jednostavniji i lakši za izračunavanje. Da biste to učinili, smanjite svoj broj na kombinaciju savršenih kvadratnih čimbenika i nesavršenih kvadratnih čimbenika, a zatim pojednostavite.
-
Upotrijebimo kvadratni korijen od 147 kao primjer. 147 nije proizvod dva savršena kvadrata, pa ne možemo dobiti točnu cijelu vrijednost kao gore. Međutim, 147 je umnožak jednog savršenog kvadrata i drugog broja - 49 i 3. Te podatke možemo upotrijebiti da svoj odgovor napišemo u najjednostavnijem obliku na sljedeći način:
- Korijen (147)
- = Korijen (49 × 3)
- = Kvadrat (49) × kvadrat (3)
- = 7 × korijen (3)
Korak 4. Ako je potrebno, procijenite
S vašim kvadratnim korijenom u najjednostavnijem obliku, obično je prilično lako doći do grube procjene broja odgovora pogađanjem vrijednosti preostalog kvadratnog korijena i množenjem. Jedan od načina na koji možete zaključiti je traženje savršenih kvadrata koji su veći i manji od broja u vašem kvadratnom korijenu. Primijetit ćete da se decimalna vrijednost broja u vašem kvadratnom korijenu nalazi između dva broja, pa možete pogoditi vrijednost između dva broja.
-
Vratimo se našem primjeru. jer 22 = 4 i 12 = 1, znamo da je Root (3) između 1 i 2 - vjerojatno bliže 2 nego 1. Procjenjujemo 1, 7. 7 × 1, 7 = 11, 9. Ako provjerimo naš odgovor na kalkulatoru, možemo vidjeti da je naš odgovor sasvim blizu pravog odgovora koji jest 12, 13.
To se odnosi i na veće brojeve. Na primjer, korijen (35) se može približiti između 5 i 6 (moguće bliže 6). 52 = 25 i 62 = 36. 35 je između 25 i 36, pa kvadratni korijen mora biti između 5 i 6. Budući da je 35 samo jedan manji od 36, s pouzdanjem možemo reći da je kvadratni korijen nešto manji od 6. Provjera pomoću kalkulatora će dajte nam odgovor je oko 5, 92 - u pravu smo.
Korak 5. Alternativno, smanjite svoj broj na najmanje uobičajene čimbenike kao prvi korak
Pronalaženje faktora savršenih kvadrata nije potrebno ako možete lako odrediti proste faktore broja (faktore koji su ujedno i prosti brojevi). Zapišite svoj broj u smislu njegovih najmanje uobičajenih faktora. Zatim pronađite parove prostih brojeva koji odgovaraju vašim faktorima. Kad pronađete dva ista osnovna faktora, uklonite ova dva broja iz kvadratnog korijena i postavite jedan od tih brojeva izvan kvadratnog korijena.
-
Na primjer, pronađite kvadratni korijen od 45 pomoću ove metode. Znamo da je 45 × 5 i znamo da je pod 9 = 3 × 3. Dakle, možemo zapisati naš kvadratni korijen u smislu faktora poput ovog: Sqrt (3 × 3 × 5). Samo uklonite obje 3 i stavite jednu 3 izvan kvadratnog korijena kako biste pojednostavili kvadratni korijen u najjednostavniji oblik: (3) Korijen (5).
Odavde ćemo biti lako procijeniti.
-
Kao posljednji primjer problema, pokušajmo pronaći kvadratni korijen od 88:
- Korijen (88)
- = Korijen (2 × 44)
- = Korijen (2 × 4 × 11)
- = Korijen (2 × 2 × 2 × 11). Imamo 2 u našem kvadratnom korijenu. Budući da je 2 prost broj, možemo ukloniti par dvojki i jednu od njih staviti izvan kvadratnog korijena.
-
= Naš kvadratni korijen u svom najjednostavnijem obliku je (2) Sqrt (2 × 11) ili (2) Korijen (2) Korijen (11).
Odavde možemo procijeniti Sqrt (2) i Sqrt (11) i pronaći približan odgovor kako želimo.
Metoda 2 od 2: Ručno pronalaženje kvadratnog korijena
Koristeći algoritam dugačke podjele
Korak 1. Odvojite znamenke svog broja u parove
Ova metoda koristi postupak sličan dugoj podjeli za pronalaženje točnog kvadratnog korijena znamenku po znamenku. Iako to nije obvezno, možda će vam biti lakše provesti ovaj postupak ako vizualno organizirate svoje radno mjesto i svoje brojeve u dijelove koji su laki za rad. Prvo nacrtajte okomitu liniju koja vaše radno područje dijeli na dva dijela, zatim povucite kraću vodoravnu crtu blizu gornjeg desnog kuta da biste desni dio podijelili na manji gornji dio i veći donji dio. Zatim odvojite svoje znamenke u parove, počevši od decimalne točke. Na primjer, slijedeći ovo pravilo, 79.520.789.182, 47897 postaje "7 95 20 78 91 82. 47 89 70". Gore ulijevo upišite svoj broj.
Na primjer, pokušajmo izračunati kvadratni korijen od 780, 14. Nacrtajte dvije crte da podijelite svoje radno mjesto kao gore i napišite "7 80. 14" u gornjem lijevom kutu. Nije važno je li krajnji lijevi broj jedan broj, a ne par brojeva. Napisat ćete svoj odgovor (kvadratni korijen 780, 14) u gornjem desnom kutu
Korak 2. Pronađite najveći cijeli broj čija je kvadratna vrijednost manja ili jednaka broju (ili paru brojeva) krajnje lijevo
Počnite krajnje lijevo od svog broja, parove brojeva i pojedinačne brojeve. Pronađite najveći savršeni kvadrat koji je manji ili jednak ovom broju, a zatim pronađite kvadratni korijen ovog savršenog kvadrata. Ovaj broj je n. Napišite n u gornjem desnom kutu i upišite kvadrat n u donji desni kvadrant.
U našem primjeru krajnje lijevo je broj 7. Jer znamo da je 22 = 4 ≤ 7 < 32 = 9, možemo reći da je n = 2 jer je 2 najveći cijeli broj čija je kvadratna vrijednost manja ili jednaka 7. Napišite 2 u gornjem desnom kvadrantu. Ovo je prva znamenka našeg odgovora. Upišite 4 (kvadratna vrijednost 2) u donji desni kvadrant. Ovaj je broj važan za sljedeći korak.
Korak 3. Oduzmite broj koji ste upravo izračunali od krajnjeg lijevog para
Kao i kod duge podjele, sljedeći korak je oduzimanje vrijednosti kvadrata koji smo upravo pronašli od dijela koji smo upravo analizirali. Napišite ovaj broj ispod prvog dijela i oduzmite, a ispod njega napišite svoj odgovor.
-
U našem primjeru zapisat ćemo 4 pod 7, a zatim ga oduzeti. Ovo oduzimanje daje odgovor
Korak 3..
Korak 4. Ispustite sljedeći par
Pomaknite se prema sljedećem odjeljku broja za koji tražite kvadratni korijen, pored vrijednosti oduzimanja koju ste upravo pronašli. Zatim pomnožite broj u gornjem desnom kvadrantu s dva i upišite odgovor u donji desni kvadrant. Pored broja koji ste upravo zapisali, ostavite prostor za problem množenja koji ćete napraviti u sljedećem koraku upisujući "" _ × _ = "'.
U našem primjeru sljedeći par naših brojeva je "80". Napišite "80" pored 3 u lijevom kvadrantu. Zatim pomnožite broj u gornjem desnom kutu s dva. Ovaj broj je 2, pa je 2 × 2 = 4. Napišite "'4"' u donji desni kvadrant, a zatim slijedi _×_=.
Korak 5. Ispunite praznine u desnom kvadrantu
Morate ispuniti sve praznine koje ste upravo napisali u desnom kvadrantu istim cijelim brojem. Ovaj cijeli broj mora biti najveći cijeli broj koji čini proizvod u desnom kvadrantu manji ili jednak broju trenutno na lijevoj strani.
U našem primjeru popunjavamo praznine s 8, što rezultira 4 (8) × 8 = 48 × 8 = 384. Ova je vrijednost veća od 384. Dakle, 8 je prevelika, ali 7 bi mogla uspjeti. Upiši 7 u prazna polja i riješi: 4 (7) × 7 = 329. 7 je točan broj jer je 329 manje od 380. Upiši 7 u gornji desni kvadrant. Ovo je druga znamenka u kvadratnom korijenu od 780, 14
Korak 6. Oduzmite broj koji ste upravo izračunali od broja koji je sada na lijevoj strani
Nastavite s lancem oduzimanja metodom dugačke podjele. Uzmite umnožak problema u desni kvadrant i oduzmite ga od broja koji je sada na lijevoj strani, dok u nastavku pišete svoje odgovore.
U našem primjeru od 380 ćemo oduzeti 329, što daje rezultat 51.
Korak 7. Ponovite korak 4
Izvedite sljedeći dio broja za koji tražite kvadratni korijen. Kad dosegnete decimalnu točku u svom broju, zapišite decimalnu točku u odgovor u gornji desni kvadrant. Zatim pomnožite broj u gornjem desnom kutu s 2 i upišite ga uz prazan problem množenja ("_ × _") kao gore.
U našem primjeru, budući da se sada bavimo decimalnom točkom u 780, 14, zapišite decimalnu točku nakon našeg trenutnog odgovora u gornjem desnom kutu. Zatim spustite sljedeći par (14) u lijevom kvadrantu. Dvaput je broj u gornjem desnom kutu (27) jednak 54, pa upišite "54 _ × _ =" u donji desni kvadrant
Korak 8. Ponovite korake 5 i 6
Pronađite najveću znamenku da popunite prazna polja s desne strane, što daje odgovor manji ili jednak broju trenutno s lijeve strane. Zatim riješite problem.
U našem primjeru 549 × 9 = 4941, što je manje ili jednako broju s lijeve strane (5114). 549 × 10 = 5490 je preveliko, pa je 9 vaš odgovor. Napišite 9 kao sljedeću znamenku u gornjem desnom kvadrantu i oduzmite proizvod od broja na lijevoj strani: 5114 minus 4941 jednako je 173
Korak 9. Da biste nastavili brojati znamenke, spustite par nula s lijeve strane i ponovite korake 4, 5 i 6
Za veću točnost nastavite s ovim procesom kako biste pronašli stotine, tisuće i više mjesta u svom odgovoru. Nastavite koristiti ovaj ciklus dok ne pronađete željeno decimalno mjesto.
Razumijevanje procesa
Korak 1. Zamislite broj od kojeg ste izračunali kvadratni korijen kao površinu S kvadrata
Budući da je površina kvadrata P2 gdje je P duljina jedne od stranica, onda pokušavajući pronaći kvadratni korijen vašeg broja, zapravo pokušavate izračunati duljinu P te stranice kvadrata.
Korak 2. Odredite slovne varijable za svaku znamenku vašeg odgovora
Promjenjivu A postavite kao prvu znamenku P (kvadratni korijen koji pokušavamo izračunati). B će biti druga znamenka, C treća znamenka itd.
Korak 3. Odredite slova varijable za svaki dio vašeg početnog broja
Postavite varijablu Sa za prvi par znamenki u S (vaša početna vrijednost), Sb za drugi par znamenki itd.
Korak 4. Shvatite odnos između ove metode i duge podjele
Ova metoda pronalaženja kvadratnog korijena u osnovi je problem dugog dijeljenja koji vaš početni broj dijeli s kvadratnim korijenom, što vam daje kvadratni korijen odgovora. Baš kao i u problemu duge podjele, zanima vas samo sljedeća znamenka u svakom koraku. Na ovaj način vas zanimaju samo sljedeće dvije znamenke u svakom koraku (što je sljedeća znamenka u svakom koraku za kvadratni korijen).
Korak 5. Pronađite najveći broj čija je kvadratna vrijednost manja ili jednaka Sa.
Prva znamenka A u našem odgovoru najveći je cijeli broj čija kvadratna vrijednost ne prelazi Sa (tj. A tako da je A² Sa <(A+1) ²). U našem primjeru, Sa = 7 i 2² 7 <3², pa je A = 2.
Imajte na umu da, na primjer, ako želite podijeliti 88962 sa 7 pomoću dugog dijeljenja, prvi koraci su približno isti: vidjet ćete prvu znamenku 88962 (što je 8) i tražite najveću znamenku koji je, pomnožen sa 7, manji ili jednak 8 U osnovi, tražite d tako da je 7 × d 8 <7 × (d+1). U ovom slučaju, d će biti jednako 1
Korak 6. Zamislite vrijednost kvadrata na čijem ćete području početi raditi
Vaš odgovor, kvadratni korijen vašeg početnog broja, je P, koji opisuje duljinu kvadrata s površinom S (vaš početni broj). Vaše ocjene za A, B, C predstavljaju znamenke u vrijednosti P. Drugi način da to kažete je 10A + B = P (za dvoznamenkasti odgovor), 100A + 10B + C = P (za troznačne cifreni odgovor) itd.
U našem primjeru, (10A+B) ² = P2 = S = 100A² + 2 × 10A × B + B². Upamtite da 10A+B predstavlja naš odgovor, P, s B u položaju jedinica i A u položaju desetica. Na primjer, s A = 1 i B = 2, tada je 10A+B jednako 12. (10A+B) ² je ukupna površina kvadrata, dok 100A² je površina najvećeg trga u njemu, B² je površina najmanjeg kvadrata u njemu, i 10A × B je površina dva preostala pravokutnika. Radeći ovaj dugi i zamršeni proces, pronalazimo ukupnu površinu kvadrata zbrajanjem površina kvadrata i pravokutnika unutra.
Korak 7. Oduzmite A² od Sa.
Smanjite jedan par znamenki (Sb) od S. Vrijednost Sa Sb blizu ukupne površine kvadrata, koju ste upravo koristili za oduzimanje većeg unutarnjeg kvadrata. Ostatak se može smatrati brojem N1, koji smo dobili u koraku 4 (N1 = 380 u našem primjeru). N1 jednako 2 & puta: 10A × B + B² (površina dva pravokutnika plus površina manjeg kvadrata).
Korak 8. Pronađite N1 = 2 × 10A × B + B², koja je također napisana kao N1 = (2 × 10A + B) × B
U našem primjeru već znate N1 (380) i A (2), pa morate pronaći B. B najvjerojatnije nije cijeli broj, tako da zaista morate pronaći najveći cijeli broj B tako da (2 × 10A + B) × B N1. Dakle imate: N1 <(2 × 10A+(B+1)) × (B+1).)
Korak 9. Završite
Da biste riješili ovu jednadžbu, pomnožite A s 2, pomaknite rezultat na položaj desetica (ekvivalent množenja s 10), stavite B u položaj jedinica i pomnožite broj s B. Drugim riječima, riješite (2 × 10A + B) × B. Upravo to radite kada upišete "N_ × _ =" (s N = 2 × A) u donji desni kvadrant u koraku 4. U koraku 5 nalazite najveći cijeli broj B koji odgovara broj ispod njega tako da (2 × 10A + B) × B N1.
Korak 10. Oduzmite površinu (2 × 10A + B) × B od ukupne površine
Ovo oduzimanje rezultira u području S- (10A+B) ² koje nije izračunato (i koje će se koristiti za izračunavanje sljedeće znamenke na isti način).
Korak 11. Za izračun sljedeće znamenke, C, ponovite postupak
Spustite sljedeći par (Sc) od S da biste dobili N2 s lijeve strane i pronađite najveći C tako da imate (2 × 10 × (10A+B)+C) × C N2 (ekvivalent pisanju dvaput dvoznamenkastog broja "AB" nakon čega slijedi "_ × _ =". Pronađite najveću odgovarajuću znamenku u prazninama koja daje odgovor manji ili jednak N2, kao i prije.
Savjeti
- Pomicanje decimalnog zareza višekratnika dviju znamenki u broju (višekratnika 100) znači pomicanje decimalnog zareza višekratnika jedne znamenke u njegovu kvadratnom korijenu (višekratniku 10).
- U ovom se primjeru 1,73 može smatrati "ostatkom": 780, 14 = 27, 9² + 1,73.
- Ova se metoda može koristiti za bilo koju bazu, a ne samo za bazu 10 (decimalna).
- Možete koristiti račun koji vam je prikladniji. Neki ljudi zapisuju rezultat iznad početnog broja.
- Alternativni način korištenja ponovljenih razlomaka je slijediti ovu formulu: z = (x^2 + y) = x + y/(2x + y/(2x + y/(2x + …))). Na primjer, za izračun kvadratnog korijena od 780, 14, cijeli broj čija je kvadratna vrijednost najbliža 780, 14 je 28, pa je z = 780, 14, x = 28 i y = -3, 86. Unos vrijednosti i računajući procjene samo za x + y/(2x) daje (najjednostavnije rečeno) 78207/20800 ili oko 27, 931 (1); sljedeći termin, 4374188/156607 ili približno 27, 930986 (5). Svaki pojam dodaje oko 3 decimalna mjesta točnosti prethodnog broja decimalnih mjesta.
