Dopunjavanje kvadrata korisna je tehnika koja će vam pomoći staviti kvadratne jednadžbe u uredan oblik, što ih čini lakim za vidjeti ili čak riješiti. Možete dovršiti kvadrate za izgradnju složenijih kvadratnih formula ili čak rješavanje kvadratnih jednadžbi. Ako želite znati kako to učiniti, slijedite ove korake.
Korak
1. dio 2: Pretvaranje običnih jednadžbi u kvadratne funkcije
Korak 1. Zapišite jednadžbu
Pretpostavimo da želite riješiti sljedeću jednadžbu: 3x2 - 4x + 5.
Korak 2. Izvadite koeficijente kvadratnih varijabli iz prva dva dijela
Da biste dobili broj 3 iz prva dva dijela, samo izvadite broj 3 i stavite ga izvan zagrada, dijeleći svaki dio sa 3. 3x2 podijeljeno s 3 je x2 i 4x podijeljeno s 3 je 4/3x. Dakle, nova jednadžba postaje: 3 (x2 - 4/3x) + 5. Broj 5 ostaje izvan jednadžbe jer nije podijeljen s brojem 3.
Korak 3. Drugi dio podijelite s 2 i uokvirite
Drugi dio ili ono što je u jednadžbi poznato kao b je 4/3. Podijeli sa dva. 4/3 2 ili 4/3 x 1/2 jednako je 2/3. Sada, ovaj kvadrat kvadrat preslikajte kvadratom brojnika i nazivnika razlomka. (2/3)2 = 4/9. Zapisati.
Korak 4. Dodajte i oduzmite ove dijelove iz jednadžbe
Ovaj dodatni dio trebat će vam da biste jednadžbu vratili na savršeni kvadrat. Međutim, morate ih oduzeti od ostatka jednadžbe da biste ih zbrajali. Iako se čini da se vraćate svojoj izvornoj jednadžbi. Vaša jednadžba izgleda ovako: 3 (x2 - 4/3 x + 4/9 - 4/9) + 5.
Korak 5. Uklonite dio koji ste oduzeli iz zagrada
Budući da imate koeficijent 3 izvan zagrada, ne možete samo ispisati -4/9. Prvo morate pomnožiti s 3. -4/9 x 3 = -12/9 ili -4/3. Ako imate koeficijent 1 u odjeljku x2, tada možete preskočiti ovaj korak.
Korak 6. Promijenite dio u zagradama u savršeni kvadrat
Sada postoje 3 (x2 -4/3x +4/9) u zagradama. Već ste pokušali dobiti 4/9, što je zapravo još jedan način da dovršite kvadrat. Dakle, možete ga prepisati kao: 3 (x - 2/3)2. Sve što trebate učiniti je podijeliti drugu polovicu i eliminirati treću. Možete provjeriti svoj rad tako što ćete ga pomnožiti i doći do prva tri dijela jednadžbe.
-
3 (x - 2/3)2 =
Dovršite kvadratni korak 6 Bullet1 - 3 (x - 2/3) (x -2/3) =
- 3 [(x2 -2/3x -2/3x + 4/9)]
- 3 (x2 - 4/3x + 4/9)
Korak 7. Kombinirajte konstante
Sada postoje dvije konstante ili brojevi koji nemaju varijable. Sada imate 3 (x - 2/3)2 - 4/3 + 5. Sve što trebate učiniti je zbrojiti -4/3 i 5 da biste dobili 11/3. Dodajete ih izjednačavanjem nazivnika: -4/3 i 15/3, a zatim zbrajate brojeve tako da dobijete 11, a nazivnik ostavite 3.
-
-4/3 + 15/3 = 11/3.
Dovršite kvadratni korak 7Bullet1
Korak 8. Napišite jednadžbu u kvadratnom obliku
Vi ste učinili. Konačna jednadžba je 3 (x - 2/3)2 +11/3. Koeficijent 3 možete ukloniti dijeljenjem obje strane jednadžbe kako biste dobili (x - 2/3)2 +11/9. Uspješno ste napisali jednadžbu u kvadratni oblik, naime a (x - h)2 +k, gdje k predstavlja konstantu.
2. dio 2: Rješavanje kvadratnih jednadžbi
Korak 1. Zapišite pitanja
Pretpostavimo da želite riješiti sljedeću jednadžbu: 3x2 + 4x + 5 = 6
Korak 2. Kombinirajte postojeće konstante i postavite ih na lijevu stranu jednadžbe
Konstanta je svaki broj koji nema varijablu. U ovom problemu konstanta je 5 lijevo i 6 desno. Ako želite pomaknuti 6 ulijevo, morate oduzeti obje strane jednadžbe za 6. Ostatak je 0 na desnoj strani (6-6) i -1 na lijevoj strani (5-6). Jednadžba postaje: 3x2 + 4x - 1 = 0.
Korak 3. Iznesite koeficijent kvadratne varijable
U ovom problemu 3 je koeficijent x2. Da biste dobili broj 3, samo izvadite broj 3 i svaki dio podijelite s 3. Dakle, 3x2 3 = x2, 4x 3 = 4/3x i 1 3 = 1/3. Jednadžba postaje: 3 (x2 + 4/3x - 1/3) = 0.
Korak 4. Podijelite s konstantom koju ste upravo izvukli
To znači da možete ukloniti koeficijent 3. Budući da ste već podijelili svaki dio s 3, možete ukloniti broj 3 bez utjecaja na jednadžbu. Vaša jednadžba postaje x2 + 4/3x - 1/3 = 0
Korak 5. Drugi dio podijelite s 2 i uokvirite
Zatim uzmite drugi dio, 4/3 ili dio b, i podijelite ga sa 2. 4/3 2 ili 4/3 x 1/2, jednako je 4/6 ili 2/3. I 2/3 na kvadrat do 4/9. Nakon što ga kvadrirate, morat ćete ga napisati s lijeve i desne strane jednadžbe jer dodajete novi dio. Morate to napisati s obje strane kako biste uravnotežili. Jednadžba postaje x2 + 4/3 x + 2/32 - 1/3 = 2/32
Korak 6. Pomaknite početnu konstantu na desnu stranu jednadžbe i dodajte je kvadratu vašeg broja
Pomaknite početnu konstantu, -1/3, udesno, čineći je 1/3. Dodajte kvadrat vašeg broja, 4/9 ili 2/32. Pronađite zajednički nazivnik za zbrajanje 1/3 i 4/9 množenjem gornjeg i donjeg ulomka 1/3 sa 3. 1/3 x 3/3 = 3/9. Sada dodajte 3/9 i 4/9 da biste dobili 7/9 na desnoj strani jednadžbe. Jednadžba postaje: x2 + 4/3 x + 2/32 = 4/9 + 1/3 tada x2 + 4/3 x + 2/32 = 7/9.
Korak 7. Zapišite lijevu stranu jednadžbe kao savršen kvadrat
Budući da ste već koristili formulu za pronalaženje dijela koji nedostaje, tvrdi dio je preskočen. Sve što trebate učiniti je staviti x i pola vrijednosti drugog koeficijenta u zagrade i uokviriti ga, na primjer: (x + 2/3)2. Imajte na umu da će faktoring savršenog kvadrata dati tri dijela: x2 + 4/3 x + 4/9. Jednadžba postaje: (x + 2/3)2 = 7/9.
Korak 8. Kvadratni korijen s obje strane
Na lijevoj strani jednadžbe kvadratni korijen iz (x + 2/3)2 je x + 2/3. Na desnoj strani jednadžbe dobit ćete +/- (√7)/3. Kvadratni korijen nazivnika 9 je 3, a kvadratni korijen iz 7 je 7. Ne zaboravite napisati +/- jer kvadratni korijen može biti pozitivan ili negativan.
Korak 9. Premjestite varijable
Da biste pomaknuli varijablu x, samo pomaknite konstantu 2/3 na desnu stranu jednadžbe. Sada imate dva moguća odgovora za x: +/- (√7)/3 - 2/3. Ovo su vaša dva odgovora. Možete ostaviti na miru ili pronaći vrijednost kvadratnog korijena 7 ako morate napisati odgovor bez kvadratnog korijena.
Savjeti
- Napišite +/- na odgovarajućem mjestu, inače ćete dobiti samo jedan odgovor.
- Čak i nakon što znate kvadratnu formulu, vježbajte redovito dovršavanje kvadrata ili dokazivanjem kvadratne formule ili rješavanjem nekih problema. Na taj način nećete zaboraviti metodu kad vam zatreba.
