Brzina se definira kao brzina objekta u određenom smjeru. U mnogim situacijama, za pronalaženje brzine, možemo koristiti jednadžbu v = s/t, gdje je v jednaka brzini, s jednaka ukupnoj udaljenosti koju je objekt premjestio od svog početnog položaja, a t je jednako vremenu. Međutim, ova metoda daje samo "prosječnu" vrijednost brzine objekta tijekom njegovog pomaka. Pomoću računa možete izračunati brzinu objekta u bilo kojoj točki njegovog pomaka. Ta se vrijednost naziva "trenutna brzina" i može se izračunati jednadžbom v = (ds)/(dt), ili, drugim riječima, izvedenica je jednadžbe za prosječnu brzinu objekta.
Korak
Metoda 1 od 3: Izračun trenutne brzine
Korak 1. Počnite s jednadžbom za brzinu pomaka objekta
Da bismo dobili vrijednost trenutne brzine objekta, prvo moramo imati jednadžbu koja opisuje njegov položaj (u smislu njegovog pomaka) u danom trenutku. To znači da jednadžba mora imati varijablu s (koji stoji sam) s jedne strane, i t s druge strane (ali ne nužno samostalno), ovako:
s = -1,5t2+10t+4
-
U jednadžbi su varijable:
-
-
Pomak = s. To je udaljenost koju je objekt prešao od svoje početne točke. Na primjer, ako objekt putuje 10 metara naprijed i 7 metara natrag, tada je ukupna prijeđena udaljenost 10 - 7 = 3 metra (ne 10 + 7 = 17 metara).
-
Vrijeme = t. Ova je varijabla sama po sebi razumljiva. Obično se izražava u sekundama. # Uzmi izvedenicu jednadžbe. Derivacija jednadžbe je druga jednadžba koja može dati vrijednost nagiba od određene točke. Da biste pronašli izvedenicu formule za pomak objekta, izvedite funkciju pomoću sljedećeg općeg pravila: Ako je y = a*x , Derivacija = a*n*xn-1. Ovo se pravilo primjenjuje na bilo koju komponentu koja se nalazi na "t" strani jednadžbe.
Izračunajte trenutnu brzinu Korak 2
-
-
- Drugim riječima, počnite spuštanjem "t" strane jednadžbe s lijeva na desno. Svaki put kada dosegnete vrijednost "t", oduzmite 1 od vrijednosti eksponenta i pomnožite cijelu s izvornom eksponentom. Sve konstante (varijable koje ne sadrže "t") bit će izgubljene jer se množe s 0. Ovaj proces nije tako težak kao što bi se moglo pomisliti, izvedimo jednadžbu u gornjem koraku kao primjer:
s = -1,5t2+10t+4
(2) -1,5 t(2-1)+ (1) 10t1 - 1 + (0) 4t0
-3t1 + 10t0
- 3t + 10
Korak 2. Zamijenite varijablu "s" sa "ds/dt
"Kako biste pokazali da je vaša nova jednadžba izvedenica prethodne jednadžbe, zamijenite" s "s" ds/dt ". Tehnički, ovaj zapis znači" derivacija s s obzirom na t. "Jednostavniji način da to shvatite je da je ds /dt je vrijednost nagiba (nagiba) u bilo kojoj točki prve jednadžbe, na primjer, za određivanje nagiba crte povučene iz jednadžbe s = -1,5t2 + 10t + 4 pri t = 5, možemo uključiti vrijednost "5" u jednadžbu derivacije.
- U korištenom primjeru prva jednadžba derivata sada bi izgledala ovako:
ds/sec = -3t + 10
Korak 3. Uključite vrijednost t u novu jednadžbu kako biste dobili vrijednost trenutne brzine
Sada kada imate jednadžbu derivacije, lako je pronaći trenutnu brzinu u bilo kojoj točki. Sve što trebate učiniti je odabrati vrijednost za t i uključiti je u svoju jednadžbu izvedenice. Na primjer, ako želite pronaći trenutnu brzinu pri t = 5, vrijednost t možete zamijeniti s "5" u jednadžbi derivacije ds/dt = -3 + 10. Zatim riješite jednadžbu na sljedeći način:
ds/sec = -3t + 10
ds/sec = -3 (5) + 10
ds/sec = -15 + 10 = - 5 metara u sekundi
Imajte na umu da je gore korištena jedinica "metar/sekunda". Budući da računamo pomak u metrima i vrijeme u sekundama (sekundama), a općenito je brzina pomak u određenom vremenu, ova je jedinica prikladna za uporabu
Metoda 2 od 3: Grafičko procjenjivanje trenutne brzine
Korak 1. Nacrtajte grafikon pomaka objekta tijekom vremena
U gornjem odjeljku derivacija se spominje kao formula za pronalaženje nagiba u određenoj točki za jednadžbu koju izvodite. Zapravo, ako predstavljate pomak objekta kao liniju na grafikonu, "nagib crte u svim točkama jednak je vrijednosti njegove trenutne brzine u toj točki."
- Za opis pomaka objekta upotrijebite x za predstavljanje vremena, a y za pomicanje. Zatim nacrtajte točke, uvrštavajući vrijednost t u svoju jednadžbu, dobivajući tako vrijednost s za vaš graf, označite t, s u grafikonu kao (x, y).
- Imajte na umu da se vaš grafikon može protezati ispod osi x. Ako linija koja predstavlja kretanje vašeg objekta seže ispod osi x, to znači da se objekt pomaknuo unatrag iz početnog položaja. Općenito, vaš grafikon neće doseći stražnju stranu osi y - jer ne mjerimo brzinu objekta koji se kreće pored!
Korak 2. Odaberite susjednu točku P i Q u retku
Da bismo dobili nagib crte u točki P, možemo se poslužiti trikom koji se zove "uzimanje granice". Uzimanje granice uključuje dvije točke (P i Q, točku u blizini) na zakrivljenoj liniji i pronalaženje nagiba crte povezujući ih mnogo puta dok se udaljenosti P i Q ne približe.
Recimo da linija pomaka objekta sadrži vrijednosti (1, 3) i (4, 7). U ovom slučaju, ako želimo pronaći nagib u točki (1, 3), možemo odrediti (1, 3) = P i (4, 7) = Q.
Korak 3. Pronađite nagib između P i Q
Nagib između P i Q razlika je u vrijednostima y za P i Q duž razlike vrijednosti osi x za P i Q. Drugim riječima, H = (yP - daP)/(xP - xP), gdje je H nagib između dviju točaka. U našem primjeru vrijednost nagiba između P i Q je
H = (yP- daP)/(xP- xP)
H = (7 - 3)/(4 - 1)
H = (4)/(3) = 1.33
Korak 4. Ponovite nekoliko puta, pomaknuvši Q bliže P
Vaš cilj je smanjiti udaljenost između P i Q kako bi nalikovali točki. Što je udaljenost između P i Q bliža, to je nagib linije bliži točki P. Učinite to nekoliko puta s jednadžbom koja se koristi kao primjer, koristeći točke (2, 4.8), (1.5, 3.95) i (1.25, 3.49) kao Q i početna točka (1, 3) kao P:
Q = (2, 4.8):
H = (4,8 - 3)/(2 - 1)
H = (1,8)/(1) = 1.8
Q = (1,5, 3,95):
H = (3,95 - 3)/(1,5 - 1)
H = (.95)/(. 5) = 1.9
Q = (1,25, 3,49):
H = (3,49 - 3)/(1,25 - 1)
H = (.49)/(. 25) = 1.96
Korak 5. Procijenite nagib crte za vrlo malu udaljenost
Kako se Q približava P, H se sve više približava vrijednosti nagiba točke P. Na kraju, kada dosegne vrlo malu vrijednost, H je jednak nagibu P. Budući da ne možemo mjeriti niti izračunati vrlo male udaljenosti, nagib na P možemo procijeniti tek nakon što je to jasno iz točke koju pokušavamo.
- U primjeru, kako se Q približavamo P, dobivamo vrijednosti 1,8, 1,9 i 1,96 za H. Budući da su ti brojevi blizu 2, možemo reći da je 2 približni nagib P.
- Upamtite da je nagib u bilo kojoj danoj točki prave jednak izvedenici jednadžbe prave. Budući da upotrijebljena linija prikazuje pomak objekta tijekom vremena i kako smo, kao što smo vidjeli u prethodnom odjeljku, trenutna brzina objekta izvedenica njegovog pomaka u određenoj točki, možemo također ustvrditi da "2 metra/sekundi "je približna vrijednost trenutne brzine pri t = 1.
Metoda 3 od 3: Primjeri pitanja
Korak 1. Pronađite vrijednost trenutne brzine pri t = 4, iz jednadžbe pomaka s = 5t3 - 3 t2 +2t+9.
Ovaj je problem isti kao primjer u prvom dijelu, samo što je ova jednadžba kockasta, a ne jednadžba moći, pa ovaj problem možemo riješiti na isti način.
- Prvo uzimamo derivaciju jednadžbe:
- Zatim unesite vrijednost t (4):
s = 5t3- 3 t2+2t+9
s = (3) 5t(3 - 1) - (2) 3t(2 - 1) + (1) 2t(1 - 1) + (0) 9t0 - 1
15t(2) - 6t(1) + 2t(0)
15t(2) - 6t + 2
s = 15t(2)- 6t + 2
15(4)(2)- 6(4) + 2
15(16) - 6(4) + 2
240 - 24 + 2 = 22 metra u sekundi
Korak 2. Pomoću grafičke procjene pronađite trenutnu brzinu pri (1, 3) za jednadžbu pomaka s = 4t2 - t.
Za ovaj problem koristit ćemo (1, 3) kao točku P, ali moramo definirati drugu točku uz tu točku kao točku Q. Zatim samo trebamo odrediti vrijednost H i napraviti procjenu.
- Najprije prvo pronađite vrijednost Q pri t = 2, 1,5, 1,1 i 1,01.
- Zatim odredite vrijednost H:
- Budući da je vrijednost H vrlo blizu 7, to možemo ustvrditi 7 metara u sekundije približna trenutna brzina pri (1, 3).
s = 4t2- t
t = 2:
s = 4 (2)2- (2)
4 (4) - 2 = 16 - 2 = 14, dakle Q = (2, 14)
t = 1,5:
s = 4 (1,5)2 - (1.5)
4 (2,25) - 1,5 = 9 - 1,5 = 7,5, dakle Q = (1,5, 7,5)
t = 1,1:
s = 4 (1,1)2 - (1.1)
4 (1,21) - 1,1 = 4,84 - 1,1 = 3,74, dakle Q = (1,1, 3,74)
t = 1,01:
s = 4 (1,01)2 - (1.01)
4 (1.0201) - 1,01 = 4,0804 - 1,01 = 3,0704, dakle Q = (1,01, 3,0704)
Q = (2, 14):
H = (14 - 3)/(2 - 1)
H = (11)/(1) =
Korak 11.
Q = (1,5, 7,5):
H = (7,5 - 3)/(1,5 - 1)
H = (4.5)/(. 5) =
Korak 9.
Q = (1,1, 3,74):
H = (3,74 - 3)/(1,1 - 1)
H = (.74)/(. 1) = 7.3
Q = (1,01, 3,0704):
H = (3.0704 - 3)/(1.01 - 1)
H = (.0704)/(. 01) = 7.04
Savjeti
- Da biste pronašli vrijednost ubrzanja (promjena brzine tijekom vremena), upotrijebite metodu u prvom odjeljku da biste dobili jednadžbu za derivaciju funkcije pomaka. Zatim ponovno stvorite izvedenu jednadžbu, ovaj put iz izvedene jednadžbe. To će vam dati jednadžbu za pronalaženje ubrzanja u bilo kojem trenutku, sve što trebate učiniti je unijeti vrijednost vremena.
- Jednadžba koja povezuje vrijednost Y (pomak) s X (vrijeme) može biti vrlo jednostavna, na primjer Y = 6x + 3. U ovom slučaju vrijednost nagiba je konstantna i nema potrebe za pronalaskom izvedenice za njezino izračunavanje, gdje će prema jednadžbi ravne linije Y = mx + b biti jednako 6.
- Pomak je sličan udaljenosti, ali ima smjer, pa je pomak vektorska veličina, dok je udaljenost skalarna veličina. Vrijednost pomaka može biti negativna, ali udaljenost će uvijek biti pozitivna.
