3 načina pojednostavljenja kvadratnih korijena

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zadnja promjena: 2023-12-16 11:15

Pojednostavljivanje kvadratnog korijena nije tako teško kao što se čini. Da biste pojednostavili kvadratni korijen, samo morate faktorirati broj i uzeti kvadratni korijen bilo kojeg savršenog kvadrata ispod kvadratnog korijena. Ako se sjećate uobičajenih savršenih kvadrata i znate rastavljati brojeve, moći ćete prilično pojednostaviti kvadratne korijene.

Korak

Metoda 1 od 3: Pojednostavljivanje kvadratnih korijena faktoringom

Korak 1. Shvatite čimbenike

Cilj pojednostavljenja kvadratnih korijena je zapisati ih u obliku koji je jednostavan za razumijevanje i korištenje u matematičkim problemima. Faktoringom se veliki broj raščlanjuje na dva ili više manjih "faktorskih" brojeva, na primjer mijenjajući 9 na 3 x 3. Nakon što pronađemo ovaj faktor, možemo prepisati kvadratni korijen u jednostavnijem obliku, ponekad ga čak i promijeniti pravilan cijeli broj. Na primjer, 9 = (3x3) = 3. Slijedite ove korake da biste saznali više o ovom procesu u složenijim kvadratnim korijenima.

Korak 2. Podijelite broj s najmanjim mogućim prostim brojem

Ako je broj ispod kvadratnog korijena paran broj, podijelite s 2. Ako je vaš broj neparan, pokušajte podijeliti sa 5. Ako vam niti jedna od ovih podjela ne daje cijeli broj, pokušajte sa sljedećim brojem na donjem popisu, podijelivši sa svakim broj. prime da biste kao rezultat dobili cijeli broj. Trebate samo testirati proste brojeve jer svi ostali brojevi imaju proste brojeve kao faktore. Na primjer, ne morate testirati s brojem 4, jer su svi brojevi koji su djeljivi sa 4 također djeljivi sa 2, što ste već pokušali.

• 2
• 3
• 5
• 7
• 11
• 13
• 17

Korak 3. Prepišite kvadratni korijen kao problem množenja

Zapišite ovo množenje pod kvadratnim korijenom i ne zaboravite uključiti oba faktora. Na primjer, ako pokušavate pojednostaviti 98, slijedite gornje korake da biste otkrili da je 98 2 = 49, pa je 98 = 2 x 49. Prepišite broj "98" u izvornom kvadratnom korijenu koristeći ove podatke: 98 = (2 x 49).

Korak 4. Ponovite na jednom od preostalih brojeva

Prije nego što možemo pojednostaviti kvadratni korijen, moramo ga nastaviti faktorirati sve dok ne postane dva potpuno jednaka broja. To ima smisla ako se sjetite što znači kvadratni korijen: broj (2 x 2) znači "broj koji možete pomnožiti sam sa sobom jednak je 2 x 2". Naravno, odgovor je 2! Imajući to na umu, ponovimo gornje korake za rješavanje našeg primjera problema (2 x 49):

• 2 uračunato je u najmanju moguću mjeru. (Drugim riječima, ovaj broj je jedan od osnovnih brojeva navedenih gore). Za sada ćemo zanemariti ovaj broj i prvo ćemo pokušati podijeliti s 49.
• 49 se ne može u potpunosti podijeliti s 2, s 3 ili sa 5. To možete sami provjeriti pomoću kalkulatora ili pomoću dugog dijeljenja. Budući da ova podjela ne daje cijeli broj, zanemarit ćemo ga i isprobati sljedeći broj.
• 49 je potpuno djeljiv sa 7. 49 7 = 7, pa je 49 = 7 x 7.
• Prepišite gornji problem sa: (2 x 49) = (2 x 7 x 7).

Korak 5. Riješite "izdvajanjem" cijelog broja

Nakon što riješite problem u dva potpuno jednaka faktora, možete ga pretvoriti u pravilan cijeli broj izvan kvadratnog korijena. Ostatak faktora neka ostane u četvrtastom korijenu. Na primjer, (2 x 7 x 7) = (2) √ (7 x 7) = (2) x 7 = 7√ (2).

Čak i ako možete dodatno utjecati na faktor, nećete morati to učiniti ponovno kada pronađete dva faktora koji se točno podudaraju. Na primjer, (16) = (4 x 4) = 4. Ako nastavimo s faktoriranjem, dobit ćemo isti odgovor, ali na dulji način: (16) = (4 x 4) = (2 x 2 x 2 x 2) = (2 x 2) √ (2 x 2) = 2 x 2 = 4

Korak 6. Pomnožite sve cijele brojeve ako ih ima više od jednog

Za neke velike brojeve kvadratnog korijena možete pojednostaviti više puta. Ako je to slučaj, pomnožite cijeli broj koji dobijete da biste dobili konačan odgovor. Evo primjera:

• 180 = (2 x 90)
• 180 = (2 x 2 x 45)
• 180 = 2√45, ali se ta vrijednost može dodatno pojednostaviti.
• 180 = 2√ (3 x 15)
• 180 = 2√ (3 x 3 x 5)
• √180 = (2)(3√5)
• √180 = 6√5

Korak 7. Zapišite "ne može se pojednostaviti" ako dva faktora nisu jednaka

Neki brojevi kvadratnih korijena već su u svom najjednostavnijem obliku. Ako nastavite s faktoriranjem sve dok nisu svi prosti brojevi (kako je navedeno u prethodnom koraku), a nijedan od parova nije isti, onda ne možete ništa učiniti. Možda ćete dobiti pitanje zamke! Na primjer, pokušajte pojednostaviti 70:

• 70 = 35 x 2, dakle 70 = (35 x 2)
• 35 = 7 x 5, dakle (35 x 2) = (7 x 5 x 2)
• Ovdje su sva tri broja prosti brojevi, pa se na njih ne može dalje računati. Tri broja su različita, pa je nemoguće proizvesti cijeli broj. 70 ne može se pojednostaviti.

Metoda 2 od 3: Prepoznavanje savršenih kvadrata

Korak 1. Sjetite se nekih savršenih kvadrata

Kvadriranje broja ili množenje sa samim brojem stvara savršeni kvadrat. Na primjer, 25 je savršen kvadrat jer 5 x 5 ili 5², jednako je 25. Zapamtite barem prvih deset savršenih kvadrata koji će vam pomoći identificirati i pojednostaviti savršene kvadratne korijene. Evo prvih deset savršenih kvadratnih brojeva:

• 1² = 1
• 2² = 4
• 3² = 9
• 4² = 16
• 5² = 25
• 6² = 36
• 7² = 49
• 8² = 64
• 9² = 81
• 10² = 100

Korak 2. Pronađite kvadratni korijen savršenog kvadrata

Ako prepoznate savršeni kvadrat ispod kvadratnog korijena, možete ga odmah pretvoriti u kvadratni korijen i ukloniti ga iz znaka (√). Na primjer, ako vidite broj 25 ispod kvadratnog korijena, već znate da je odgovor 5, jer je 25 savršen kvadrat. Popis je isti kao gore, počevši od kvadratnog korijena do odgovora:

• √1 = 1
• √4 = 2
• √9 = 3
• √16 = 4
• √25 = 5
• √36 = 6
• √49 = 7
• √64 = 8
• √81 = 9
• √100 = 10

Korak 3. Umnožite broj u savršen kvadrat

Iskoristite savršene kvadrate nastavljajući s faktorskom metodom pojednostavljenja kvadratnih korijena. Ako ste svjesni čimbenika savršenog kvadrata, tada ćete brže i lakše rješavati probleme. Evo nekoliko savjeta koje možete koristiti:

• 50 = (25 x 2) = 5√2. Ako posljednje dvije znamenke broja završe na 25, 50 ili 75, uvijek možete faktor 25 od tog broja.
• 1700 = (100 x 17) = 10√17. Ako zadnja dva broja završe na 00, uvijek možete faktor 100 od tog broja.
• 72 = (9 x 8) = 3√8. Upoznajte množenje devet kako bi vam bilo lakše. Evo savjeta za njihovo prepoznavanje: ako se "svi" brojevi u broju zbroje do devet, tada je devet faktor.
• 12 = (4 x 3) = 2√3. Ovdje nema posebnih savjeta, ali obično je lako provjeriti je li mali broj djeljiv sa 4. Imajte to na umu kada tražite druge čimbenike.

Korak 4. Faktorizirajte broj s više od jednog savršenog kvadrata

Ako faktori broja imaju više savršenih kvadrata, izvadite ih sve iz kvadratnog korijena. Ako u postupku pojednostavljenja kvadratnog korijena dobijete više savršenih kvadrata, pomaknite sve kvadratne korijene izvan znaka i pomnožite ih sve zajedno. Na primjer, pokušajte pojednostaviti 72:

• 72 = (9 x 8)
• 72 = (9 x 4 x 2)
• 72 = (9) x (4) x (2)
• 72 = 3 x 2 x 2
• √72 = 6√2

Metoda 3 od 3: Razumijevanje uvjeta

Korak 1. Znajte da je znak kvadratnog korijena (√) znak kvadratnog korijena

Na primjer, u zadatku 25, "√" je korijenski znak.

Korak 2. Znajte da je radikand broj unutar korijenskog znaka

Ovo je broj iz kojeg morate izračunati kvadratni korijen. Na primjer, u problemu 25, "25" je kvadratni korijen.

Korak 3. Znajte da je koeficijent broj izvan kvadratnog korijena

Ovaj broj je kvadratni korijen množitelja; ovaj broj je lijevo od korijenskog znaka. Na primjer, u zadatku 7√2, "7" je vrijednost koeficijenta.

Korak 4. Znajte da je faktor broj koji je u potpunosti djeljiv s brojem

Na primjer, 2 je faktor 8 jer je 8 4 = 2, ali 3 nije faktor 8 jer 8 ÷ 3 ne daje cijeli broj. Baš kao i u drugim primjerima, 5 je faktor 25 jer je 5 x 5 = 25.

Korak 5. Shvatite značenje pojednostavljenja kvadratnog korijena

Pojednostavljivanje kvadratnog korijena jednostavno znači faktoring savršenog kvadrata kvadratnog korijena, njegovo uklanjanje lijevo od radikalnog predznaka, a ostavljanje preostalih faktora pod radikalnim predznakom. Ako je broj savršen kvadrat tada će kvadratni korijen nestati kada zapišete korijen. Na primjer, 98 se može pojednostaviti na 7√2.

Savjeti

Jedan od načina da pronađete savršeni kvadrat koji se može ubrojiti u broj je da pogledate popis savršenih kvadrata, počevši od manjeg od vašeg kvadratnog korijena ili s brojem ispod kvadratnog korijena. Na primjer, kada tražite savršeni kvadrat koji nije veći od 27, počnite s 25, pa se spustite do 16 i "zaustavite se na 9", kada pronađete savršeni kvadrat koji dijeli 27

Upozorenje

• Pojednostavljivanje nije isto što i izračunavanje vrijednosti. Nijedan od koraka u ovom procesu ne zahtijeva da dobijete broj s decimalnim brojem.
• Kalkulatori mogu biti od pomoći za velike brojeve, ali što više vježbate sami, lakše ćete pojednostaviti kvadratne korijene.