Pitagorin teorem opisuje duljine stranica pravokutnog trokuta na elegantan i praktičan način, pa se ovaj teorem i danas široko koristi. Ovaj teorem kaže da je za bilo koji pravokutni trokut zbroj kvadrata stranica koje nisu pod kutom jednake kvadratu hipotenuze. Drugim riječima, za pravokutni trokut s okomitim stranicama a i b i hipotenuzom c, a2 + b2 = c2.
Pitagorin teorem jedan je od osnovnih stupova elementarne geometrije. Postoji bezbroj aplikacija koje koriste ovaj teorem, na primjer, za lakše pronalaženje udaljenosti između dviju točaka na koordinatnoj ravnini.
Korak
Metoda 1 od 2: Pronalaženje strana pravokutnog trokuta
Korak 1. Provjerite je li vaš trokut pravokutni trokut
Pitagorin teorem vrijedi samo za pravokutne trokute, stoga je prije nego što nastavite vrlo važno provjeriti jesu li vaši trokuti u skladu sa svojstvima pravokutnih trokuta. Srećom, postoji jedan faktor koji može ukazivati da je vaš trokut pravokutni trokut. Vaš trokut trebao bi imati jedan kut od 90 stupnjeva.
Kao znak, desni trokuti često su označeni malim kvadratima za označavanje kutova od 90 stupnjeva, ne koristeći zakrivljene "krivulje". Potražite ovu oznaku u kutu trokuta
Korak 2. Dajte varijable a, b i c za stranice vašeg trokuta
U Pitagorinoj teoremi varijable a i b predstavljaju stranice koje se sastaju u pravokutnom trokutu, dok varijabla c predstavlja hipotenuzu - dugu stranicu nasuprot pravom kutu. Dakle, za početak označite kratke stranice vašeg trokuta varijablama a i b (nije važno mijenjate li ih), a hipotenuzu označite varijablom c.
Korak 3. Odlučite koju stranu trokuta želite riješiti
Pitagorin teorem omogućuje matematičarima da pronađu duljinu bilo koje stranice pravokutnog trokuta sve dok znaju duljine druge dvije stranice. Odredite koja je strana nepoznata - a, b i/ili c. Ako vam duljina jedne strane nije poznata, spremni ste za nastavak.
- Na primjer, znamo da je duljina hipotenuze trokuta 5, a jedna od drugih stranica 3, ali nismo sigurni u duljinu treće stranice. U ovom slučaju znamo da tražimo duljinu treće stranice, a budući da znamo duljine druge dvije, možemo je riješiti! Na ovom problemu ćemo raditi sljedećim koracima.
- Ako ne znate duljine dviju stranica, morate znati jednu od stranica da biste mogli koristiti Pitagorin teorem. Osnovne trigonometrijske funkcije mogu vam pomoći ako poznajete jednu stranu trokuta koja nije nagnuta.
Korak 4. Uključite dvostrane vrijednosti koje već poznajete u jednadžbu
Uključite duljine stranica vašeg trokuta u jednadžbu a2 + b2 = c2. Upamtite da su a i b stranice koje se ne kose, dok je c hipotenuza.
U našem primjeru znamo duljinu jedne od stranica i hipotenuzu (3 i 5), pa jednadžba postaje 3² + b² = 5²
Korak 5. Kvadrat
Da biste riješili svoju jednadžbu, počnite s kvadratom poznatih strana. Alternativno, ako vam je ovo lakše, možete ostaviti duljine stranica na kvadrat i kasnije ih uokviriti.
-
U našem primjeru kvadrat i 3 ćemo 5 tako dobiti
Korak 9. da
Korak 25.. Jednadžbu možemo zapisati kao 9 + b² = 25.
Korak 6. Premjestite nepoznatu varijablu na drugu stranu jednadžbe
Ako je potrebno, upotrijebite osnovne algebarske operacije kako biste nepoznatu varijablu premjestili na drugu stranu jednadžbe, a kvadrat druge dvije varijable na drugu stranu. Ako želite pronaći duljinu hipotenuze, c se već nalazi s druge strane jednadžbe, pa ne morate ništa učiniti da biste je pomaknuli.
U našem primjeru trenutna jednadžba je 9 + b² = 25. Za pomicanje b² oduzmite obje strane jednadžbe za 9, tako da je rezultat b² = 16
Korak 7. Kvadratni korijen obje strane jednadžbe
Sada je samo jedna varijabla na kvadratu s jedne strane, a broj s druge. Kvadratni korijen s obje strane kako bi se pronašla duljina nepoznate stranice.
- U našem primjeru, b² = 16, uzimajući kvadratni korijen s obje strane dobivamo b = 4. Dakle, možemo reći da je duljina nepoznate stranice trokuta jednaka
Korak 4..
Korak 8. Pomoću Pitagorine teoreme pronađite stranice pravog pravokutnog trokuta
Razlog zašto se Pitagorina teorema danas široko koristi je taj što se može primijeniti na bezbroj praktičnih situacija. Naučite poznavati prave trokute u stvarnom životu - u svakoj situaciji u kojoj se dva objekta ili ravne linije susreću pod pravim kutom, a treći objekt ili linija spaja dva objekta ili crte dijagonalno, tada možete upotrijebiti Pitagorin teorem da biste pronašli duljinu stranice druga, ako su poznate duljine druge dvije stranice.
-
Pokušajmo s primjerom koji je malo teži. Ljestve se naslanjaju na zgradu. Udaljenost od dna stepenica do zida je 5 metara. Visina stepenica doseže 20 metara. Koliko su dugačke ljestve?
-
5 metara od zida i 20 metara visine govori nam o duljinama stranica trokuta. Budući da zid i tlo (pretpostavlja se) tvore pravi kut, a ljestve su dijagonalno naslonjene na zid, ovaj se raspored može smatrati pravokutnim trokutom sa duljinama stranica a = 5 i b = 20. Duljina ljestvi je hipotenuza, pa je vrijednost c nije poznata. Upotrijebimo Pitagorinu teoremu:
- a² + b² = c²
- (5) ² + (20) ² = c²
- 25 + 400 = c²
- 425 = c²
- korijen (425) = c
- c = 20,6. Približna duljina ljestvi je 20,6 metara.
-
Metoda 2 od 2: Izračunavanje udaljenosti između dviju točaka u ravnini X-Y
Korak 1. Pronađite dvije točke u ravnini X-Y
Pitagorin teorem može se lako koristiti za izračun ravne udaljenosti između dviju točaka u ravnini X-Y. Sve što trebate znati su koordinate x i y dviju točaka. Obično se te koordinate zapisuju zajedno u obliku (x, y).
Da bismo pronašli udaljenost između ove dvije točke, svaku ćemo točku smatrati jednim od nepravokutnih kutova pravokutnog trokuta. Tako ćete lako pronaći duljine stranica a i b, a zatim izračunati hipotenuzu c, koja je udaljenost između dvije točke
Korak 2. Nacrtajte svoje dvije točke na slici
U pravilnoj ravnini X-Y, svaka točka (x, y), x predstavlja vodoravnu koordinatu, a y predstavlja okomitu koordinatu. Možete pronaći udaljenost između dvije točke bez crtanja, ali tako ćete dobiti vizualnu sliku pomoću koje možete provjeriti je li vaš odgovor točan.
Korak 3. Pronađite duljinu neskrivene stranice vašeg trokuta
Koristeći dvije točke kao kutove trokuta uz hipotenuzu, pronađite duljine stranica a i b trokuta. To možete učiniti pomoću slike ili formule | x1 - x2| za vodoravnu stranu i | y1 - da2| za okomitu stranu, s (x1, y1) kao prva točka i (x2, y2) kao drugu točku.
-
Neka su naše dvije točke (6, 1) i (3, 5). Duljina vodoravne stranice našeg trokuta je:
- | x1 - x2|
- |3 - 6|
-
| -3 | =
Korak 3.
-
Duljina okomite stranice je:
- | y1 - da2|
- |1 - 5|
-
| -4 | =
Korak 4.
- Dakle, u našem pravokutnom trokutu stranica a = 3 i stranica b = 4.
Korak 4. Pomoću Pitagorine teoreme pronađite duljinu hipotenuze
Udaljenost između dvije točke duljina je hipotenuze trokuta čije ste dvije stranice upravo pronašli. Pomoću Pitagorine teoreme pronađite hipotenuzu, gdje je a duljina prve stranice, a b duljina druge stranice.
-
U našem primjeru koristimo točke (3, 5) i (6, 1) čije su duljine stranica 3 i 4, pa hipotenuzu možemo pronaći na sljedeći način:
-
- (3) ²+(4) ² = c²
- c = korijen (9+16)
- c = korijen (25)
-
c = 5. Udaljenost između (3, 5) i (6, 1) je
Korak 5..
-
Savjeti
-
Hipotenuza je uvijek:
- nasuprot pravom kutu (bez dodirivanja pravog kuta)
- najduža stranica u pravokutnom trokutu
- nazvan c u Pitagorinom teoremu
- korijen (x) znači kvadratni korijen od x.
- Ne zaboravite uvijek provjeravati svoje odgovore. Ako vam se odgovor čini pogrešnim, pokušajte ponovo i pokušajte ponovo.
- Ako trokut nije pravokutni trokut, potrebne su vam dodatne informacije, a ne samo duljine druge dvije stranice.
- Drugi način provjere - najduža stranica je nasuprot najvećem kutu, a najkraća stranica nasuprot najmanjem kutu.
- Brojke su ključ za zapis ispravnih vrijednosti za a, b i c. Ako radite na problemu s pričom, svakako prvo zapišite problem u obliku slike.
- Ako znate samo duljinu jedne strane, Pitagorina teorema ne funkcionira. Pokušajte koristiti trigonometriju (sin, cos, tan) ili omjere 30-60-90 / 45-45-90.
