3 načina faktoriranja algebarskih jednadžbi

2024 Autor: Jason Gerald | [email protected]. Zadnja promjena: 2024-01-15 08:16

U matematici, faktoring je način pronalaženja brojeva ili izraza koji će, kada se pomnoži, dati zadani broj ili jednadžbu. Faktoring je korisna vještina za učenje rješavanja jednostavnih problema algebre; sposobnost dobrog faktoriranja postaje važna kada se radi o kvadratnim jednadžbama i drugim oblicima polinoma. Faktoring se može upotrijebiti za pojednostavljenje algebarskih izraza kako bi se olakšala njihova rješenja. Faktoring vam čak može dati mogućnost da eliminirate određene moguće odgovore, mnogo brže nego njihovo ručno rješavanje.

Korak

Metoda 1 od 3: Faktoriziranje brojeva i jednostavni algebarski izrazi

Korak 1. Shvatite definiciju faktoringa kada se primjenjuje na pojedinačne brojeve

Faktoring je jednostavan koncept, ali u praksi može biti izazovan ako se primijeni na složene jednadžbe. Stoga je najjednostavnije pristupiti konceptu faktoringa počevši od jednostavnih brojeva, pa prijeći na jednostavne jednadžbe, prije nego što se konačno pređe na složenije aplikacije. Čimbenici broja su brojevi koji pri množenju proizvode broj. Na primjer, faktori 12 su 1, 12, 2, 6, 3 i 4, jer su 1 × 12, 2 × 6 i 3 × 4 jednaki 12.

• Drugi način razmišljanja je da su čimbenici broja brojevi koji se mogu ravnomjerno podijeliti na broj.

• Možete li pronaći sve faktore broja 60? Broj 60 koristimo u razne svrhe (minute u satu, sekunde u minuti itd.) Jer se može dijeliti s dosta drugih brojeva.

  Čimbenici 60 su 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30 i 60

Korak 2. Shvatite da se varijabilni izrazi također mogu uzeti u obzir

Baš kao što se sami brojevi mogu uračunati, tako se i faktore mogu uzeti u obzir. Da biste to učinili, samo pronađite čimbenike promjenjivih koeficijenata. Znati kako faktorirati varijablu vrlo je korisno za pojednostavljivanje algebarskih jednadžbi koje uključuju tu varijablu.

• Na primjer, varijablu 12x možemo zapisati kao umnožak faktora 12 i x. Možemo zapisati 12x kao 3 (4x), 2 (6x) itd., Koristeći bilo koji faktor od 12 koji najbolje odgovara našim potrebama.

  Možemo čak 12 puta više puta faktoriti. Drugim riječima, ne moramo se zaustaviti na 3 (4x) ili 2 (6x) - možemo faktorirati 4x i 6x kako bismo dobili 3 (2 (2x) i 2 (3 (2x). Naravno, ova dva izraza su ekvivalentni

Korak 3. Primijenite distribucijsko svojstvo množenja na faktorske algebarske jednadžbe

Koristeći svoje znanje o tome kako faktorisati i pojedinačne brojeve i varijable koeficijentima, možete pojednostaviti jednostavne algebarske jednadžbe pronalaskom faktora koje brojevi i varijable dijele u algebarskim jednadžbama. Obično, kako bismo pojednostavili jednadžbu, pokušavamo pronaći najveći zajednički faktor. Ovaj postupak pojednostavljenja moguć je zbog distribucijskog svojstva množenja, koje se odnosi na bilo koji broj a, b i c. a (b + c) = ab + ac.

• Pokušajmo s primjerom pitanja. Za faktoriziranje algebarske jednadžbe 12x + 6, pokušajmo najprije pronaći najveći zajednički faktor od 12x i 6. 6 je najveći broj koji može ravnomjerno podijeliti 12x i 6, pa možemo pojednostaviti jednadžbu na 6 (2x + 1).
• Ovaj se postupak primjenjuje i na jednadžbe s negativnim brojevima i razlomacima. Na primjer, x/2 + 4, može se pojednostaviti na 1/2 (x + 8), a -7x + -21 može se uzeti u obzir na -7 (x + 3).

Metoda 2 od 3: Faktoriziranje kvadratnih jednadžbi

Korak 1. Provjerite je li jednadžba u kvadratnom obliku (ax² + bx + c = 0).

Kvadratne jednadžbe imaju oblik ax² + bx + c = 0, gdje su a, b i c brojčane konstante i nisu jednake 0 (imajte na umu da a može biti 1 ili -1). Ako imate jednadžbu koja ima jednu varijablu (x) koja ima jedan pojam x na stupanj dva ili više, obično te izraze pomičete u jednadžbi koristeći jednostavne algebarske operacije kako biste dobili 0 s obje strane znaka jednakosti i sjekire²itd. na drugoj strani.

• Na primjer, zamislimo algebarsku jednadžbu. 5x² + 7x - 9 = 4x² + x - 18 može se pojednostaviti na x² + 6x + 9 = 0, što je kvadratni oblik.
• Jednadžbe veće snage x, poput x³, x⁴itd. nisu kvadratne jednadžbe. Ove su jednadžbe kubične jednadžbe za četvrtu stepenicu itd., Osim ako se jednadžba može pojednostaviti za uklanjanje ovih x pojmova s moćima većim od 2.

Korak 2. U kvadratnoj jednadžbi, gdje je a = 1, faktor u (x+d) (x+e), gdje je d × e = c i d+e = b

Ako je vaša kvadratna jednadžba u obliku x² + bx + c = 0 (drugim riječima, ako je koeficijent člana x² = 1), moguće je (ali nije zajamčeno) da se prilično laka stenografska metoda može koristiti za faktoring jednadžbe. Nađi dva broja koji pri množenju daju c i zbrajaju za proizvodnju b. Nakon što ste tražili ova dva broja d i e, stavite ih u sljedeći izraz: (x+d) (x+e). Ova dva pojma, kad se pomnože, daju vam kvadratnu jednadžbu - drugim riječima, oni su čimbenici vaše kvadratne jednadžbe.

• Na primjer, zamislimo kvadratnu jednadžbu x² + 5x + 6 = 0. 3 i 2 se množe kako bi se dobilo 6, a također se zbraja da bi se dobilo 5, pa ovu jednadžbu možemo pojednostaviti na (x + 3) (x + 2).

• Mala razlika u ovoj osnovnoj stenografskoj metodi leži u razlikama u samim sličnostima:

  • Ako je kvadratna jednadžba u obliku x²-bx+c, vaš odgovor je u ovom obliku: (x - _) (x - _).
  • Ako je jednadžba u obliku x²+ bx + c, vaš odgovor izgleda ovako: (x + _) (x + _).
  • Ako je jednadžba u obliku x²-bx -c, vaš odgovor je u obliku (x + _) (x -_).
• Napomena: brojevi u praznim mjestima mogu biti razlomci ili decimale. Na primjer, jednadžba x² + (21/2) x + 5 = 0 se računa u (x + 10) (x + 1/2).

Korak 3. Ako je moguće, uzmite u obzir provjere

Vjerovali ili ne, za nekomplicirane kvadratne jednadžbe jedna od dopuštenih metoda faktoringa je ispitati problem, a zatim razmotriti moguće odgovore dok ne pronađete točan odgovor. Ova metoda je također poznata kao faktoring putem ispitivanja. Ako je jednadžba u obliku ax²+bx +c i a> 1, vaš faktorski odgovor je u obliku (dx +/- _) (ex +/- _), gdje su d i e konstante ne nula brojeva koji pri množenju daju a. Ni d ni e (ili oboje) ne mogu biti 1, iako to ne mora biti. Ako su obje 1, u osnovi koristite stenografsku metodu opisanu gore.

Razmislimo o primjeru problema. 3x² - 8x + 4 na prvu izgleda teško. Međutim, kad shvatimo da 3 ima samo dva faktora (3 i 1), ova jednadžba postaje lakša jer znamo da naš odgovor mora biti oblika (3x +/- _) (x +/- _). U ovom slučaju zbrajanje -2 na obje praznine daje točan odgovor. -2 × 3x = -6x i -2 × x = -2x. -6x i -2x zbrajaju do -8x. -2 × -2 = 4, pa možemo vidjeti da izrazi u zagradama pri množenju proizvode izvornu jednadžbu.

Korak 4. Riješite dovršavanjem kvadrata

U nekim se slučajevima kvadratne jednadžbe mogu brzo i jednostavno faktorirati pomoću posebnih algebarskih identiteta. Bilo koja kvadratna jednadžba u obliku x² + 2xh + h² = (x + h)². Dakle, ako je u vašoj jednadžbi vaša vrijednost b dvaput kvadratni korijen vaše vrijednosti c, vaša se jednadžba može uzeti u obzir (x + (korijen (c)))².

Na primjer, jednadžba x² +6x+9 ima ovaj oblik. 3² je 9, a 3 × 2 je 6. Dakle, znamo da je faktorski oblik ove jednadžbe (x + 3) (x + 3) ili (x + 3)².

Korak 5. Upotrijebite faktore za rješavanje kvadratnih jednadžbi

Bez obzira na to kako ste uračunali svoju kvadratnu jednadžbu, nakon što je jednadžba uračunata, možete pronaći moguće odgovore na vrijednost x tako što ćete svaki faktor učiniti nulom i riješiti ih. Budući da tražite vrijednost x koja čini vašu jednadžbu nulom, vrijednost x koja čini bilo koji faktor jednakim nuli mogući je odgovor na vašu kvadratnu jednadžbu.

Vratimo se na jednadžbu x² + 5x + 6 = 0. Ova se jednadžba računa u (x + 3) (x + 2) = 0. Ako je bilo koji faktor jednak 0, sve jednadžbe jednake su 0, pa su naši mogući odgovori za x brojevi- broj koji čini (x + 3) i (x + 2) jednaki 0. Ti su brojevi -3 odnosno -2.

Korak 6. Provjerite svoje odgovore - neki od odgovora mogu zavarati

Kad pronađete moguće odgovore za x, ponovo ih uključite u svoju izvornu jednadžbu da vidite je li odgovor točan. Ponekad odgovori koji pronađete ne čine izvornu jednadžbu jednakom nuli kada se ponovno unese. Ovaj odgovor nazivamo devijantnim i zanemarujemo ga.

• Stavimo -2 i -3 u x² + 5x + 6 = 0. Prvo, -2:

  • (-2)² + 5(-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. Ovaj je odgovor točan, pa je -2 točan odgovor.

• Pokušajmo sada -3:

  • (-3)² + 5(-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. I ovaj je odgovor točan, pa je -3 točan odgovor.

Metoda 3 od 3: Faktoriziranje drugih jednadžbi

Korak 1. Ako je jednadžba izražena u obliku a²-b², faktor u (a+b) (a-b).

Jednadžbe s dvije varijable imaju različite faktore od osnovne kvadratne jednadžbe. Za jednadžbu a²-b² sve gdje a i b nisu jednaki 0, faktori jednadžbe su (a+b) (a-b).

Na primjer, jednadžba 9x² - 4 godine² = (3x + 2y) (3x - 2y).

Korak 2. Ako je jednadžba izražena u obliku a²+2ab+b², faktor u (a+b)².

Imajte na umu da, ako je trinom oblika a²-2ab+b², faktori su nešto drugačiji: (a-b)².

4x jednadžba² + 8xy + 4y² može se prepisati kao 4x² + (2 × 2 × 2) xy + 4y². Sada možemo vidjeti da je oblik ispravan, pa možemo biti sigurni da su čimbenici naše jednadžbe (2x + 2y)²

Korak 3. Ako je jednadžba izražena u obliku a³-b³, faktor u (a-b) (a²+ab+b²).

Konačno, već je spomenuto da se kubne jednadžbe, pa čak i veće moći, mogu uzeti u obzir, iako proces faktoringa vrlo brzo postaje vrlo kompliciran.

Na primjer, 8x³ - 27 godina³ uračunato u (2x - 3y) (4x² + ((2x) (3y)) + 9y²)

Savjeti

• a²-b² može se uzeti u obzir, a²+b² ne može se uzeti u obzir.
• Sjetite se kako faktoriti konstantu. Ovo bi moglo pomoći.
• Budite oprezni s razlomacima u postupku faktoringa i ispravno i pažljivo radite s razlomacima.
• Ako imate trinom oblika x²+ bx+ (b/2)², faktor oblika je (x+(b/2))². (Možda ćete naići na ovu situaciju pri dovršavanju kvadrata.)
• Upamtite da je a0 = 0 (svojstvo proizvoda nule).