U "sustavu jednadžbi" od vas se traži da riješite dvije ili više jednadžbi istovremeno. Kad dvije jednadžbe imaju dvije različite varijable, na primjer x i y, rješenje se u početku može činiti teškim. Na sreću, kad znate što trebate učiniti, jednostavno možete upotrijebiti svoje algebarske vještine (i znanost o računanju razlomaka) za rješavanje problema. Naučite i nacrtati ove dvije jednadžbe ako vizualno učite ili ako učitelj to zahtijeva. Crteži će vam pomoći da identificirate predmet ili provjerite rezultate svog rada. Međutim, ova je metoda sporija od ostalih metoda i ne može se koristiti za sve sustave jednadžbi.
Korak
Metoda 1 od 3: Korištenje metode zamjene
Korak 1. Premjestite varijable na suprotnu stranu jednadžbe
Metoda zamjene započinje "pronalaženjem vrijednosti x" (ili bilo koje druge varijable) u jednoj od jednadžbi. Na primjer, recimo da je jednadžba problema 4x + 2y = 8 i 5x + 3y = 9. Počnite s radom na prvoj jednadžbi. Preuredite jednadžbu oduzimanjem 2y s obje strane. Tako dobivate 4x = 8 - 2y.
Ova metoda često koristi razlomke na kraju. Ako vam se ne sviđa brojanje razlomaka, isprobajte dolje navedenu metodu eliminacije
Korak 2. Podijelite obje strane jednadžbe da biste "pronašli vrijednost x"
Nakon što je izraz x (ili bilo koja varijabla koju koristite) sam na jednoj strani jednadžbe, podijelite obje strane jednadžbe s koeficijentima tako da ostane samo varijabla. Kao primjer:
- 4x = 8 - 2y
- (4x)/4 = (8/4) - (2y/4)
- x = 2 - y
Korak 3. Uključite vrijednost x iz prve jednadžbe u drugu jednadžbu
Uključite ga u drugu jednadžbu, umjesto u onu na kojoj ste upravo radili. Zamijenite (zamijenite) varijablu x u drugoj jednadžbi. Dakle, druga jednadžba sada ima samo jednu varijablu. Kao primjer:
- Poznato je x = 2 - y.
- Vaša druga jednadžba je 5x + 3y = 9.
- Nakon zamjene x varijable u drugoj jednadžbi s x vrijednošću iz prve jednadžbe, dobivamo "2 - y": 5 (2 - y) + 3y = 9.
Korak 4. Riješite preostale varijable
Sada vaša jednadžba ima samo jednu varijablu. Izračunajte jednadžbu s običnim algebarskim operacijama kako biste pronašli vrijednost varijable. Ako se dvije varijable međusobno poništavaju, preskočite izravno na posljednji korak. U suprotnom ćete dobiti vrijednost za jednu od varijabli:
- 5 (2 - y) + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + 3y = 9
- 10 - (5/2) y + (6/2) y = 9 (Ako ne razumijete ovaj korak, naučite dodavati razlomke.)
- 10 + y = 9
- y = -1
- y = -2
Korak 5. Pomoću dobivenog odgovora pronađite pravu vrijednost x u prvoj jednadžbi
Nemojte još stati jer vaši izračuni još nisu gotovi. Dobiveni odgovor morate uključiti u prvu jednadžbu da biste pronašli vrijednost preostalih varijabli:
- Poznato je y = -2
- Jedna od jednadžbi u prvoj jednadžbi je 4x + 2y = 8. (Možete koristiti bilo koji.)
- Zamijenite y varijablu sa -2: 4x + 2 (-2) = 8.
- 4x - 4 = 8
- 4x = 12
- x = 3
Korak 6. Znajte što učiniti ako se dvije varijable međusobno poništavaju
Kad uđete x = 3y+2 ili sličan odgovor na drugu jednadžbu, što znači da pokušavate dobiti jednadžbu koja ima samo jednu varijablu. Ponekad jednostavno dobijete jednadžbu bez promjenjivo. Dvaput provjerite svoj rad i provjerite jeste li stavili (preuredili) jednadžbu jedan u jednadžbu dva, umjesto da se vratite na prvu jednadžbu. Kad budete sigurni da niste učinili ništa loše, napišite jedan od sljedećih rezultata:
- Ako jednadžba nema varijable i nije točna (na primjer, 3 = 5), ovaj problem nemaju odgovor. (Kad se ovo iscrta, ove dvije jednadžbe su paralelne i nikada se ne susreću.)
- Ako jednadžba nema varijable i Ispravno, (npr. 3 = 3), što znači da pitanje ima neograničeni odgovori. Jednadžba jednaka je potpuno istoj jednadžbi dva. (Kad se iscrtaju, ove dvije jednadžbe su ista linija.)
Metoda 2 od 3: Korištenje metode eliminacije
Korak 1. Pronađite međusobno isključujuće varijable
Ponekad je jednadžba u problemu već poništavati jedno drugo kad se zbroji. Na primjer, ako napravite jednadžbu 3x + 2y = 11 i 5x - 2y = 13, pojmovi "+2y" i "-2y" će se poništiti i ukloniti varijablu "y" iz jednadžbe. Pogledajte jednadžbu u problemu i provjerite postoje li varijable koje se međusobno poništavaju, kao u primjeru. Ako ne, prijeđite na sljedeći korak.
Korak 2. Pomnožite jednadžbu s jednom tako da se jedna varijabla ukloni
(Preskočite ovaj korak ako se varijable međusobno već poništavaju.) Ako jednadžba nema varijable koje se same poništavaju, promijenite jednu od jednadžbi tako da se mogu jedna drugu poništiti. Pogledajte sljedeće primjere kako biste ih lako razumjeli:
- Jednadžbe u problemu su 3x - y = 3 i - x + 2y = 4.
- Promijenimo prvu jednadžbu tako da varijabla y otkazati jedno drugo. (Možete koristiti varijablu x. Konačni dobiveni odgovor bit će isti.)
- Promjenjivo - da u prvoj jednadžbi mora se eliminirati po + 2g u drugoj jednadžbi. Kako, umnožiti - da sa 2.
- Pomnožite obje strane jednadžbe s 2, kako slijedi: 2 (3x - y) = 2 (3), tako 6x - 2y = 6. Sad, pleme - 2 g otkazat će jedni druge s +2g u drugoj jednadžbi.
Korak 3. Kombinirajte dvije jednadžbe
Trik je u tome da desnu stranu prve jednadžbe dodate desnoj strani druge jednadžbe, a lijevu stranu prve jednadžbe dodate lijevoj strani druge jednadžbe. Ako se učini ispravno, jedna će se varijabla jedna drugu poništiti. Pokušajmo nastaviti izračun iz prethodnog primjera:
- Vaše dvije jednadžbe su 6x - 2y = 6 i - x + 2y = 4.
- Zbrojite lijeve strane dviju jednadžbi: 6x - 2y - x + 2y =?
- Zbrojite desne strane dviju jednadžbi: 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
Korak 4. Dobijte zadnju vrijednost varijable
Pojednostavite svoju složenu jednadžbu i radite sa standardnom algebrom kako biste dobili vrijednost posljednje varijable. Ako nakon pojednostavljenja jednadžba nema varijable, prijeđite na posljednji korak u ovom odjeljku.
U suprotnom ćete dobiti vrijednost za jednu od varijabli. Kao primjer:
- Poznato je 6x - 2y - x + 2y = 6 + 4.
- Grupne varijable x i y zajedno: 6x - x - 2y + 2y = 6 + 4.
- Pojednostavite jednadžbu: 5x = 10
- Pronađi vrijednost x: (5x)/5 = 10/5, dobiti x = 2.
Korak 5. Pronađite vrijednost druge varijable
Pronašli ste vrijednost jedne varijable, ali što je s drugom? Uključite svoj odgovor u jednu od jednadžbi kako biste pronašli vrijednost preostale varijable. Kao primjer:
- Poznato je x = 2, a jedna od jednadžbi u problemu je 3x - y = 3.
- Zamijenite x varijablu s 2: 3 (2) - y = 3.
- Pronađite vrijednost y u jednadžbi: 6 - y = 3
- 6 - y + y = 3 + y, tako 6 = 3 + y
- 3 = y
Korak 6. Znajte što učiniti kada se dvije varijable jedna drugu poništavaju
Ponekad kombiniranjem dvije jednadžbe nastaje jednadžba koja nema smisla ili vam ne pomaže u rješavanju problema. Pregledajte svoj rad i ako ste sigurni da niste učinili ništa loše, napišite jedan od sljedeća dva odgovora:
- Ako kombinirana jednadžba nema varijable i nije točna (na primjer 2 = 7), ovaj problem nemaju odgovor. Ovaj se odgovor odnosi na obje jednadžbe. (Kad se ovo iscrta, ove dvije jednadžbe su paralelne i nikada se ne susreću.)
- Ako kombinirana jednadžba nema varijable i Ispravno, (npr. 0 = 0), što znači da pitanje ima neograničeni odgovori. Ove dvije jednadžbe su međusobno identične. (Kad se iscrtaju, ove dvije jednadžbe su ista linija.)
Metoda 3 od 3: Nacrtajte grafikon jednadžbi
Korak 1. Ovu metodu izvodite samo prema uputama
Osim ako ne koristite računalo ili grafički kalkulator, ova metoda može dati samo približne odgovore. Vaš učitelj ili udžbenik mogu vam reći da koristite ovu metodu kako biste stekli naviku crtanja jednadžbi kao linija. Ova metoda se također može koristiti za provjeru odgovora na jednu od gore navedenih metoda.
Glavna ideja je da morate opisati dvije jednadžbe i pronaći njihovo sjecište. Vrijednost x i y na ovom presjeku je odgovor na problem
Korak 2. Pronađite y-vrijednosti obje jednadžbe
Nemojte kombinirati dvije jednadžbe i mijenjajte svaku jednadžbu tako da format bude "y = _x + _". Kao primjer:
- Vaša prva jednadžba je 2x + y = 5. Promijeniti y = -2x + 5.
- Vaša prva jednadžba je - 3x + 6y = 0. Promijeniti 6y = 3x + 0, i pojednostaviti do y = x + 0.
- Ako su vam dvije jednadžbe potpuno iste, cijela linija je "sjecište" dviju jednadžbi. Pisati neograničeni odgovori kao odgovor.
Korak 3. Nacrtajte koordinatne osi
Nacrtajte okomitu liniju "osi y" i vodoravnu liniju "osi x" na grafičkom papiru. Počevši od točke gdje se dvije osi sijeku (0, 0), zapišite brojčane oznake 1, 2, 3, 4 i tako redom prema gore po osi y, a prema osi x prema desno. Nakon toga zapišite oznake s brojevima -1, -2 i tako redom prema dolje na osi y, a prema osi x prema lijevo.
- Ako nemate grafički papir, pomoću ravnala provjerite je li razmak između svakog broja potpuno isti.
- Ako koristite velike brojeve ili decimale, preporučujemo skaliranje grafikona (npr. 10, 20, 30 ili 0, 1, 0, 2, 0, 3 umjesto 1, 2, 3).
Korak 4. Nacrtajte točku presretanja y za svaku jednadžbu
Ako je jednadžba u obliku y = _x + _, možete početi crtati graf tako da napravite točku u kojoj se linija jednadžbe siječe s osi y. Vrijednost y uvijek je ista kao posljednji broj u jednadžbi.
-
Nastavljajući prethodni primjer, prvi redak (y = -2x + 5) siječe os y u
Korak 5.. drugi red (y = x + 0) siječe os y u 0. (Ove točke su zapisane kao (0, 5) i (0, 0) na grafikonu.)
- Ako je moguće, nacrtajte prvi i drugi redak olovkama ili olovkama različitih boja.
Korak 5. Koristite nagib za nastavak linije
U formatu jednadžbe y = _x + _, broj ispred x označava "razinu nagiba" linije. Svaki put kada se x poveća za jedan, vrijednost y će se povećati za broj razina nagiba. Pomoću ovih informacija pronađite točke za svaku liniju na grafikonu kada je x = 1. (Također možete unijeti x = 1 u svaku jednadžbu i pronaći vrijednost y.)
- Nastavljajući prethodni primjer, linija y = -2x + 5 ima nagib od - 2. U točki x = 1 linija se pomiče dolje za 2 iz točke x = 0. Nacrtajte liniju koja povezuje (0, 5) s (1, 3).
- Crta y = x + 0 ima nagib od ½. Pri x = 1 linija se pomiče vožnja iz točke x = 0. Nacrtajte liniju koja povezuje (0, 0) s (1,).
- Ako dvije crte imaju isti nagib, dva se nikada neće presijecati. Dakle, ovaj sustav jednadžbi nema odgovor. Pisati nema odgovora kao odgovor.
Korak 6. Nastavite povezivati linije sve dok se dvije linije ne presijeku
Prestanite s radom i pogledajte svoj grafikon. ako su dvije crte prešle jedna drugu, prijeđite na sljedeći korak. Ako ne, donesite odluku na temelju položaja dviju linija:
- Ako se dvije linije približe jedna drugoj, nastavite povezivati točkice svojih pruga.
- Ako se dvije crte odmaknu jedna od druge, vratite se natrag i spojite točke u suprotnim smjerovima, počevši od x = 1.
- Ako su dvije linije jako udaljene, pokušajte preskočiti i spojiti točke dalje, na primjer x = 10.
Korak 7. Pronađite odgovor na mjestu raskrižja
Nakon što se dvije linije presijeku, vrijednost x i y na toj točki je odgovor na vaš problem. Ako imate sreće, odgovor će biti cijeli broj. Na primjer, u našem primjeru dvije se linije sijeku u točki (2, 1) pa je odgovor x = 2 i y = 1. U nekim sustavima jednadžbi, točka gdje se linija siječe nalazi se između dva cijela broja, a ako grafikon nije vrlo točan, teško je odrediti gdje su vrijednosti x i y na točki sjecišta. Ako je dopušteno, kao odgovor možete napisati "x je između 1 i 2" ili upotrijebiti metodu zamjene ili uklanjanja da biste pronašli odgovor.
Savjeti
- Svoj rad možete provjeriti uključivanjem odgovora u izvornu jednadžbu. Ako se jednadžba pokaže točnom (npr. 3 = 3), to znači da je vaš odgovor točan.
- Kad koristite eliminacijsku metodu, ponekad morate pomnožiti jednadžbu s negativnim brojem kako bi se varijable mogle međusobno poništiti.
