Kvadratna jednadžba je jednadžba čiji je najveći stupanj 2 (na kvadrat). Postoje tri glavna načina za rješavanje kvadratne jednadžbe: faktoring kvadratne jednadžbe ako možete, koristeći kvadratnu formulu ili dovršavanje kvadrata. Ako želite svladati ove tri metode, slijedite ove korake.
Korak
Metoda 1 od 3: Faktoring jednadžbe
Korak 1. Kombinirajte sve jednake varijable i pomaknite ih na jednu stranu jednadžbe
Prvi korak faktoriranja jednadžbe je premještanje svih jednakih varijabli na jednu stranu jednadžbe, s x2je pozitivan. Za kombiniranje varijabli zbrojite ili oduzmite sve varijable x2, x i konstante (cijeli brojevi) pomaknite ih na drugu stranu jednadžbe tako da s druge strane ništa ne ostane. Kad druga strana nema preostalih varijabli, napišite 0 uz znak jednakosti. Evo kako to učiniti:
- 2x2 - 8x - 4 = 3x - x2
- 2x2 +x2 - 8x -3x - 4 = 0
- 3x2 - 11x - 4 = 0
Korak 2. Uzmite u obzir ovu jednadžbu
Za faktoring ove jednadžbe morate koristiti faktor x2 (3) i konstantni faktor (-4), množeći ih i zbrajajući tako da odgovara varijabli u sredini, (-11). Evo kako to učiniti:
- 3x2 ima samo jedan mogući faktor, 3x i x, možete ih napisati u zagradi: (3x +/-?) (x +/-?) = 0.
- Zatim upotrijebite postupak eliminacije da biste faktor 4 izračunali kako biste pronašli proizvod koji daje -11x. Možete koristiti umnožak 4 i 1, ili 2 i 2, jer kad pomnožite oba, dobivate 4. No zapamtite da jedan od brojeva mora biti negativan jer je rezultat -4.
- Pokušajte (3x + 1) (x - 4). Kad to pomnožite, rezultat je - 3x2 -12x +x -4. Ako kombinirate varijable -12 x i x, rezultat je -11x, što je vaša srednja vrijednost. Upravo ste uzeli u obzir kvadratnu jednadžbu.
- Na primjer, pokušajmo faktoring drugog proizvoda: (3x -2) (x +2) = 3x2 +6x -2x -4. Ako kombinirate varijable, rezultat je 3x2 -4x -4. Iako čimbenici -2 i 2 pri množenju proizvode -4, srednja vrijednost nije ista jer želite dobiti vrijednost -11x umjesto -4x.
Korak 3. Pretpostavimo da je svaka zagrada jednaka nuli u drugoj jednadžbi
To će vam omogućiti da pronađete 2 x vrijednosti koje će vašu jednadžbu učiniti nulom. Uračunali ste svoju jednadžbu, pa sve što trebate učiniti je pretpostaviti da je izračun u svakoj zagradi jednak nuli. Dakle, možete napisati 3x + 1 = 0 i x - 4 = 0.
Korak 4. Riješite svaku jednadžbu zasebno
U kvadratnoj jednadžbi postoje 2 vrijednosti za x. Riješite svaku jednadžbu zasebno pomicanjem varijabli i zapisujući 2 odgovora za x, ovako:
-
Riješi 3x + 1 = 0
- 3x = -1….. oduzimanjem
- 3x/3 = -1/3 ….. dijeljenjem
- x = -1/3….. pojednostavljivanjem
-
Riješi x - 4 = 0
x = 4 ….. oduzimanjem
- x = (-1/3, 4) ….. razdvajanjem nekoliko mogućih odgovora, što znači da x = -1/3 ili x = 4 mogu biti točni.
Korak 5. Provjerite x = -1/3 in (3x + 1) (x -4) = 0:
Tako dobivamo (3 [-1/3] + 1) ([-1/3]-4)? =? 0….. zamjenom (-1 + 1) (-4 1/3)? =? 0….. pojednostavljivanjem (0) (-4 1/3) = 0….. množenjem Dakle, 0 = 0….. Da, x = -1/3 je točno.
Korak 6. Provjerite x = 4 in (3x + 1) (x - 4) = 0:
Tako dobivamo (3 [4] + 1) ([4] - 4)? =? 0….. zamjenom (13) (4 - 4)? =? 0….. pojednostavljivanjem (13) (0) = 0….. množenjem Dakle, 0 = 0….. Da, x = 4 je također točno.
Dakle, nakon zasebne provjere, oba su odgovora točna i mogu se koristiti u jednadžbama
Metoda 2 od 3: Korištenje kvadratne formule
Korak 1. Kombinirajte sve jednake varijable i pomaknite ih na jednu stranu jednadžbe
Premjestite sve varijable na jednu stranu jednadžbe, s vrijednošću varijable x2 pozitivan. Zapišite varijable s uzastopnim eksponentima, tako da x2 prvo napisane, zatim varijable i konstante. Evo kako to učiniti:
- 4x2 - 5x - 13 = x2 -5
- 4x2 - x2 - 5x - 13 +5 = 0
- 3x2 - 5x - 8 = 0
Korak 2. Zapišite kvadratnu formulu
Kvadratna formula je: b ± b2−4ac2a { displaystyle { frac {-b / pm { sqrt {b^{2} -4ac}}} {2a}}}
Korak 3. Odredite vrijednosti a, b i c iz kvadratne jednadžbe
Varijabla a je koeficijent x2, b je koeficijent varijable x, a c je konstanta. Za jednadžbu 3x2 -5x -8 = 0, a = 3, b = -5 i c = -8. Zapiši sva tri.
Korak 4. Zamijenite vrijednosti a, b i c u jednadžbi
Nakon što znate tri varijabilne vrijednosti, uključite ih u jednadžbu poput ove:
- {-b +/- √ (b2 - 4ac)}/2
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - 4(3)(-8))}/2(3) =
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3)
Korak 5. Izvršite izračune
Nakon što unesete brojeve, napravite matematiku kako biste pojednostavili pozitivan ili negativan predznak, pomnožili ili kvadratirali preostale varijable. Evo kako to učiniti:
- {-(-5) +/-√ ((-5)2 - (-96))}/2(3) =
- {5 +/-√(25 + 96)}/6
- {5 +/-√(121)}/6
Korak 6. Pojednostavite kvadratni korijen
Ako je broj ispod korijena savršen kvadrat, dobit ćete cijeli broj. Ako broj nije savršen kvadrat, pojednostavite ga u najjednostavniji oblik korijena. Ako je broj negativan i mislite da bi trebao biti negativan, vrijednost korijena bit će komplicirana. U ovom primjeru, (121) = 11. Možete napisati x = (5 +/- 11)/6.
Korak 7. Potražite pozitivne i negativne odgovore
Nakon što uklonite znak kvadratnog korijena, možete napredovati do pronalaska pozitivnog i negativnog rezultata za x. Sada kada imate (5 +/- 11)/6, možete napisati 2 odgovora:
- (5 + 11)/6
- (5 - 11)/6
Korak 8. Dopunite pozitivne i negativne odgovore
Izvršite matematičke izračune:
- (5 + 11)/6 = 16/6
- (5-11)/6 = -6/6
Korak 9. Pojednostavite
Kako biste pojednostavili svaki odgovor, podijelite s najvećim brojem koji može podijeliti oba broja. Podijelite prvi razlomak s 2, a drugi s 6, i našli ste vrijednost x.
- 16/6 = 8/3
- -6/6 = -1
- x = (-1, 8/3)
Metoda 3 od 3: Dovršite kvadrat
Korak 1. Premjestite sve varijable na jednu stranu jednadžbe
Uvjerite se da je a ili varijabla x2 pozitivan. Evo kako to učiniti:
- 2x2 - 9 = 12x =
-
2x2 - 12x - 9 = 0
U ovoj jednadžbi, varijabla a je 2, varijabla b je -12, a varijabla c je -9
Korak 2. Pomaknite varijablu ili konstantu c na drugu stranu
Konstante su numerički pojmovi bez varijabli. Pomaknite se na desnu stranu jednadžbe:
- 2x2 - 12x - 9 = 0
- 2x2 - 12x = 9
Korak 3. Obje stranice podijelite koeficijentom a ili varijablom x2.
Ako je x2 nema varijablu i koeficijent je 1, možete preskočiti ovaj korak. U ovom slučaju morate sve varijable podijeliti s 2, ovako:
- 2x2/2 - 12x/2 = 9/2 =
- x2 - 6x = 9/2
Korak 4. Podijelite b s 2, kvadrirajte ga i dodajte rezultat na obje strane
Vrijednost b u ovom primjeru je -6. Evo kako to učiniti:
- -6/2 = -3 =
- (-3)2 = 9 =
- x2 - 6x + 9 = 9/2 + 9
Korak 5. Pojednostavite obje strane
Promijenite varijablu na lijevoj strani da biste dobili (x-3) (x-3) ili (x-3)2. Dodajte vrijednosti s desne strane da biste dobili 9/2 + 9 ili 9/2 + 18/2, što je 27/2.
Korak 6. Pronađite kvadratni korijen za obje strane
Kvadratni korijen iz (x-3)2 je (x-3). Kvadratni korijen od 27/2 možete zapisati kao ± √ (27/2). Dakle, x - 3 = ± √ (27/2).
Korak 7. Pojednostavite korijene i pronađite vrijednost x
Da biste pojednostavili ± √ (27/2), pronađite savršeni kvadrat između brojeva 27 i 2 ili umnožite taj broj. Savršeni kvadrat od 9 može se pronaći u 27 jer je 9 x 3 = 27. Da biste izvadili 9 iz kvadratnog korijena, izvadite 9 iz korijena i napišite 3, kvadratni korijen, izvan kvadratnog korijena. Ostatak 3 ostavite u brojniku razlomka ispod kvadratnog korijena, budući da 27 ne odražava sve faktore, a ispod zapišite 2. Zatim pomaknite konstantu 3 s lijeve strane jednadžbe udesno i napišite svoja dva rješenja za x:
- x = 3 +(√6)/2
- x = 3 - (√6)/2)
Savjeti
- Kao što vidite, oznake korijena neće potpuno nestati. Dakle, varijable brojitelja ne mogu se kombinirati (jer nisu jednake). Nema smisla dijeliti ga na pozitivno ili negativno. Međutim, možemo ga podijeliti po istom faktoru, ali SAMO ako su faktori isti za obje konstante I korijenski koeficijent.
- Ako broj ispod kvadratnog korijena nije savršen kvadrat, tada je posljednjih nekoliko koraka malo drugačije. Evo primjera:
- Ako je b paran broj, formula postaje: {-(b/2) +/- (b/2) -ac}/a.
