Udaljenost, često dobivena varijablom "s", mjerenje je prostora koji je ravna linija između dvije točke. Udaljenost se može odnositi na prostor između dvije nepomične točke (na primjer, visina osobe je udaljenost od dna stopala do vrha glave) ili se može odnositi na prostor između trenutnog položaja objekta u pokretu i početno mjesto gdje se objekt počeo kretati. Većina problema s udaljenošću može se riješiti jednadžbom s = v × t, gdje je s udaljenost, v je prosječna brzina, a t je vrijeme ili korištenje s = ((x2 - x1)2 + (y2 - da1)2), gdje (x1, y1) i (x2, y2) su x i y koordinate dviju točaka.
Korak
Metoda 1 od 2: Izračunavanje udaljenosti s prosječnom brzinom i vremenom
Korak 1. Pronađite vrijednosti prosječne brzine i vremena
Kada pokušavate izračunati udaljenost koju je objekt u pokretu prešao, postoje dvije informacije koje su važne za ovaj izračun: ubrzati (ili brzina) i vrijeme da je objekt u pokretu putovao. Pomoću ovih podataka moguće je izračunati udaljenost koju je objekt prešao pomoću formule s = v × t.
Da bismo bolje razumjeli postupak korištenja formule udaljenosti, riješimo primjer problema u ovom odjeljku. Recimo da putujemo cestom brzinom od 120 milja na sat (oko 193 km na sat) i želimo znati koliko ćemo daleko prevaliti za pola sata. Koristiti 120 milja na sat kao vrijednost prosječne brzine i 0,5 sati kao vrijednost vremena, riješit ćemo ovaj problem u sljedećem koraku.
Korak 2. Pomnožite prosječnu brzinu s vremenom
Nakon što se zna prosječna brzina objekta u pokretu i vrijeme koje je prešao, izračunati prijeđenu udaljenost relativno je jednostavno. Samo pomnožite dvije vrijednosti da biste pronašli odgovor.
- Međutim, imajte na umu da ako se jedinica vremena korištena u prosječnoj vrijednosti brzine razlikuje od one koja se koristi u vrijednosti vremena, morat ćete je promijeniti tako da odgovara. Na primjer, ako bismo imali prosječnu vrijednost brzine izmjerenu u km na sat, a vrijednost vremena mjerenu u minutama, morali biste podijeliti vrijednost vremena sa 60 da biste je pretvorili u sate.
- Završimo naš problem s primjerom. 120 milja/sat × 0,5 sati = 60 milja. Imajte na umu da jedinice u vrijednosti vremena (sati) izostavljaju nazivnik prosječne brzine (sati) ostavljajući samo jedinice udaljenosti (milje).
Korak 3. Promijenite jednadžbu za izračun druge varijable
Jednostavnost osnovne jednadžbe udaljenosti (s = v × t) olakšava korištenje jednadžbe za pronalaženje vrijednosti varijable koja nije udaljenost. Samo izolirajte varijablu koju želite pronaći prema osnovnim pravilima algebre, a zatim unesite vrijednosti druge dvije varijable kako biste pronašli vrijednost treće varijable. Drugim riječima, za izračun prosječne brzine objekta upotrijebite jednadžbu v = s/t a za izračun vremena koje je objekt protekao koristite jednadžbu t = s/v.
- Na primjer, recimo da znamo da je automobil prešao 60 milja u 50 minuta, ali nemamo vrijednost prosječne brzine dok se objekt kreće. U tom slučaju možemo izolirati varijablu v u jednadžbi osnovne udaljenosti kako bismo dobili v = d/t, a zatim samo podijeliti 60 milja/50 minuta da bismo dobili odgovor 1,2 milje/minutu.
- Imajte na umu da u primjeru odgovor za brzinu ima neobičnu jedinicu (milje/minutu). Da biste dobili odgovor u uobičajenim miljama/satu, pomnožite sa 60 minuta/sat da biste dobili rezultat 72 milje/sat.
Korak 4. Imajte na umu da se varijabla "v" u formuli za udaljenost odnosi na prosječnu brzinu
Važno je razumjeti da osnovna formula udaljenosti nudi pojednostavljen prikaz kretanja objekta. Formula udaljenosti pretpostavlja da objekt u pokretu ima konstantnu brzinu - drugim riječima, pretpostavlja da objekt u pokretu ima jednu, nepromjenjivu brzinu. Za apstraktne matematičke probleme, poput onih na koje možete naići u akademskom okruženju, ponekad je još uvijek moguće modelirati kretanje objekta pomoću ove pretpostavke. Međutim, u stvarnom životu ti primjeri često ne odražavaju točno kretanje objekata u pokretu, koji zapravo mogu ubrzati, usporiti, zaustaviti se i obrnuti tijekom vremena.
- Na primjer, u gore navedenom primjeru problema zaključili smo da bismo za prelazak 60 milja u 50 minuta morali putovati 72 milje na sat. Međutim, to je točno samo ako putujete jednom brzinom tijekom cijelog putovanja. Na primjer, putujući brzinom od 80 milja/sat za pola putovanja i 64 milje/sat za preostalu polovicu, i dalje ćemo prevaliti 60 milja za 50 minuta - 72 milje/sat = 60 milja/50 minuta = ?????
- Rješenja temeljena na računima koja koriste izvedenice često su bolji izbor od formula udaljenosti za definiranje brzine objekta u stvarnim situacijama jer su moguće promjene brzine.
Metoda 2 od 2: Izračun udaljenosti između dviju točaka
Korak 1. Pronađite dvije prostorne koordinate dviju točaka
Što ako umjesto izračuna udaljenosti koju je pokretni objekt prešao morate izračunati udaljenost između dva nepokretna objekta? U tom slučaju gore opisana formula udaljenosti temeljena na brzini neće funkcionirati. Srećom, različite formule udaljenosti mogu se koristiti za jednostavno izračunavanje ravne udaljenosti između dviju točaka. Međutim, da biste koristili ovu formulu, morat ćete znati koordinate dviju točaka. Ako rukujete jednodimenzionalnim udaljenostima (kao na numeričkoj liniji), koordinate će se sastojati od dva broja, x1 i x2. Ako s udaljenostima rukujete u dvije dimenzije, trebat će vam dvije vrijednosti (x, y), (x1, y1) i (x2, y2). Konačno, za tri dimenzije trebat će vam vrijednost (x1, y1, z1) i (x2, y2, z2).
Korak 2. Izračunajte jednodimenzionalnu udaljenost oduzimanjem vrijednosti koordinata dviju točaka
Izračun jednodimenzionalne udaljenosti između dvije točke kada već znate vrijednost svake točke je jednostavan. Dovoljno je koristiti formulu s = | x2 - x1|. U ovoj formuli oduzimate x1 od x2, zatim uzmite apsolutnu vrijednost vašeg odgovora kako biste pronašli udaljenost između x1 i x2. Obično ćete htjeti koristiti formulu jednodimenzionalne udaljenosti kada su dvije točke na liniji ili osi brojeva.
- Imajte na umu da ova formula koristi apsolutne vrijednosti (simbol " | |"). Apsolutna vrijednost znači samo da vrijednost unutar simbola postaje pozitivna ako je negativna.
-
Na primjer, recimo da se zaustavimo uz cestu na savršeno ravnoj autocesti. Ako postoji grad 5 milja ispred nas i drugi grad 1 milju iza nas, koliko su udaljena dva grada? Ako grad 1 postavimo kao x1 = 5 i grad 2 kao x1 = -1, možemo izračunati s, udaljenost između dva grada, na sljedeći način:
- s = | x2 - x1|
- = |-1 - 5|
- = |-6| = 6 milja.
Korak 3. Izračunajte dvodimenzionalnu udaljenost koristeći Pitagorin teorem
Izračunavanje udaljenosti između dviju točaka u dvodimenzionalnom prostoru složenije je nego u jednodimenzionalnom, ali nije teško. Dovoljno je koristiti formulu s = ((x2 - x1)2 + (y2 - da1)2). U ovoj formuli oduzmite dvije x-koordinate, izračunajte kvadratni korijen, oduzmite dvije y-koordinate, izračunajte kvadratni korijen, zatim zbrojite dva rezultata i izračunajte kvadratni korijen kako biste pronašli udaljenost između dvije točke. Ova se formula odnosi na dvodimenzionalnu ravninu - na primjer, na pravilnom x/y grafu.
- Formula dvodimenzionalne udaljenosti koristi Pitagorin teorem koji kaže da je duljina hipotenuze trokuta s desne strane jednaka kvadratnom korijenu kvadrata s druge dvije strane.
- Na primjer, recimo da imamo dvije točke u x -y ravnini: (3, -10) i (11, 7), koje predstavljaju središte kružnice i točku na kružnici. Da bismo pronašli udaljenost ravne linije između dvije točke, možemo je izračunati na sljedeći način:
- s = ((x2 - x1)2 + (y2 - da1)2)
- s = ((11 - 3)2 + (7 - -10)2)
- s = (64 + 289)
- s = (353) = 18, 79
Korak 4. Izračunajte trodimenzionalnu udaljenost promjenom formule dvodimenzionalne udaljenosti
U tri dimenzije, točke imaju koordinate z uz koordinate x i y. Za izračun udaljenosti između dviju točaka u trodimenzionalnom prostoru upotrijebite s = ((x2 - x1)2 + (y2 - da1)2 + (z2 - z1)2). Ovo je modificirani oblik gore opisane dvodimenzionalne formule udaljenosti koja uključuje z-koordinatu. Oduzimanjem dvije z-koordinate, izračunavanjem kvadratnog korijena i nastavkom s ostatkom formule osigurava se da će vaš konačni odgovor predstavljati trodimenzionalnu udaljenost između dvije točke.
- Na primjer, recimo da smo astronauti koji lebde u svemiru između dva asteroida. Jedan asteroid je oko 8 km ispred nas, 2 km udesno i 5 km ispod nas, dok je drugi oko 3 km iza nas, 3 km ulijevo i 4 km iznad nas. Ako položaje dva asteroida predstavimo koordinatama (8, 2, -5) i (-3, -3, 4), udaljenost između njih možemo izračunati na sljedeći način:
- s = ((-3 - 8)2 + (-3 - 2)2 + (4 - -5)2)
- s = ((-11)2 + (-5)2 + (9)2)
- s = (121 + 25 + 81)
- s = (227) = 15, 07 km
