Iako se ponekad može činiti zastrašujućim, problem kvadratnog korijena zapravo nije tako teško riješiti. Jednostavni problemi s kvadratnim korijenom obično se mogu riješiti jednako lako kao i osnovni problemi množenja i dijeljenja. Za složenija pitanja potrebno je malo dodatnog napora. No, uz pravi pristup, svaki se težak problem može riješiti. Kroz ovaj članak ćemo vam pomoći u rješavanju problema s kvadratnim korijenom u nekoliko jednostavnih koraka.
Korak
1. dio od 3: Razumijevanje kvadrata i korijena
Korak 1. Kvadrat je broj pomnožen sa samim brojem
Da biste razumjeli kvadratni korijen, dobro je prvo razumjeti značenje kvadrata. Jednostavno rečeno, kvadrat je broj pomnožen sa samim brojem. Na primjer, 3 na kvadrat je 3 puta 3 = 9, a 9 na kvadrat 9 je 9 = 81. Kvadrat je predstavljen malim 2 u gornjem desnom kutu broja na kvadrat - ovako: 32, 92, 1002itd.
Pokušajte kvadrirati neke druge brojeve da biste testirali ovaj koncept. Upamtite, kvadratura broja množi broj sam po sebi. Možete čak i negativne brojeve uokviriti. Rezultat će uvijek biti pozitivan broj. Na primjer, -82 = -8 × -8 = 64.
Korak 2. Kvadratni korijen je recipročan kvadratu
Simbol kvadratnog korijena (√, poznat i kao "radikalni" simbol) u biti je suprotan simbolu 2. Kad pronađete radikala, zapitajte se: koji bi broj, ako je na kvadrat, rezultirao brojem unutar radikala? Na primjer, ako pogledate √ (9), pronađite broj koji je na kvadrat devet. Dakle, odgovor je "tri", jer 32 = 9.
-
Kao drugi primjer, pokušajmo pronaći kvadratni korijen od 25 (√ (25)). Odnosno, tražimo broj koji je na kvadrat rezultat 25. Jer 52 = 5 × 5 = 25, tada je (25) =
Korak 5..
-
Kvadratni korijen također se može smatrati "poništavanjem" kvadrata. Na primjer, ako želimo pronaći (64), kvadratni korijen od 64, tada 64 zamislimo kao 82. Budući da simbol kvadratnog korijena u biti "negira" kvadratni simbol, stoga je (64) = (82) =
Korak 8..
Korak 3. Upoznajte razliku između savršenih i nesavršenih kvadrata
Do sada su rezultati izračunavanja kvadratnog korijena bili cijeli brojevi. Pitanja s kojima ćete se kasnije suočiti neće biti tako laka, bit će pitanja s odgovorima na decimalni broj s nekoliko znamenki iza zareza. Brojevi koji su zaokruženi nakon kvadrata (to jest, ne razlomačni ili decimalni brojevi) također se nazivaju "savršeni kvadrati". Svi prethodni primjeri (9, 25 i 64) savršeni su kvadrati, jer ako su na kvadrat, rezultat je cijeli broj (3, 5 i 8).
S druge strane, brojevi koji se nakon zaokruživanja ne zaokruže su "nesavršeni kvadrati". Obično je nakon kvadrata rezultat razlomljeni ili decimalni broj. Ponekad čak i brojevi izgledaju vrlo komplicirano, poput (13) = 3, 605551275464…
Korak 4. Zapamtite kvadrat brojeva 1-12
Kao što već znate, kvadratovanje savršenog kvadratnog broja vrlo je jednostavno. Memoriranje kvadrata brojeva 1-12 može biti vrlo korisno jer će se ti brojevi dosta pojavljivati u problemu. Tako ćete uštedjeti vrijeme dok radite na pitanjima. Prvih 12 kvadrata su:
-
12 = 1 × 1 =
Korak 1.
-
22 = 2 × 2 =
Korak 4.
-
32 = 3 × 3 =
Korak 9.
-
42 = 4 × 4 =
Korak 16.
-
52 = 5 × 5 =
Korak 25.
- 62 = 6 × 6 = 36
- 72 = 7 × 7 = 49
- 82 = 8 × 8 = 64
- 92 = 9 × 9 = 81
- 102 = 10 × 10 = 100
- 112 = 11 × 11 = 121
- 122 = 12 × 12 = 144
Korak 5. Pojednostavite kvadratni korijen uklanjanjem savršenih kvadrata
Pronalaženje kvadratnog korijena nesavršenog kvadratnog broja može biti teško, pogotovo ako ne koristite kalkulator. Međutim, broj za kvadrat može se pojednostaviti kako bi se olakšalo izračunavanje. Da biste to učinili, jednostavno odvojite broj unutar radikala na nekoliko čimbenika, zatim uklonite kvadratni korijen savršenih kvadratnih brojeva i napišite odgovor izvan radikala. Ova je metoda prilično laka za napraviti - kako biste bolje razumjeli, evo više objašnjenja:
- Recimo da želimo izračunati kvadratni korijen od 900. Dakle, jednostavno podijelite 900 na njegove faktore. “Faktori” su brojevi koji se mogu pomnožiti zajedno kako bi se dobio drugi broj. Na primjer, broj 6 može se dobiti množenjem i 1 × 6 i 2 × 3, pa su faktori 6 1, 2, 3 i 6.
- Imajući to na umu načelo, podijelimo 900 na njegove faktore. Za početak zapisujemo 900 kao 9 × 100. Budući da je 9 savršen kvadrat, kvadratni korijen od 100 možemo uzeti zasebno. (9 × 100) = (9) × (100) = 3 × (100). Drugim riječima, (900) = 3√(100).
-
Možemo ga dodatno pojednostaviti odvajanjem 100 na njegove faktore, naime 25 i 4. (100) = (25 × 4) = (25) × (4) = 5 × 2 = 10. Stoga se može izračunati (900) = 3 (10) =
Korak 30..
Korak 6. Upotrijebite zamišljeni broj za kvadratni korijen negativnog broja
Zamislite, koji je broj rezultat na kvadrat ako je na kvadrat? Odgovor, ne. Svi brojevi na kvadrat rezultat je uvijek pozitivan, jer je negativan (-), kada se pomnoži s negativnim rezultat je pozitivan (+). Dakle, kako bismo negativni broj uokvirili, moramo negativni broj zamijeniti zamišljenim brojem (obično u obliku slova ili simbola). Na primjer, varijabla "i" općenito se koristi za kvadratni korijen od -1. Zamišljeni broj uvijek je na kvadratnom korijenu negativnog broja.
Valja napomenuti da, iako se imaginarni brojevi nikada ne predstavljaju brojevima, oni se ipak mogu tretirati kao brojevi na različite načine. Na primjer, kvadratni korijen negativnog broja može se kvadrirati kako bi se uklonio kvadratni korijen. Na primjer, ja2 = - 1
Dio 2 od 3: Upotrijebite algoritam stila duge podjele
Korak 1. Riješite probleme kvadratnog korijena, poput problema dugog dijeljenja
Iako dugotrajni, teški problemi s kvadratnim korijenom mogu se riješiti bez kalkulatora. Da bismo to učinili, upotrijebit ćemo metodu (ili algoritam) sličnu podjeli s dugim stekom.
- Započnite s pisanjem problema kvadratnog korijena kao što biste radili s problemom duge podjele. Kao primjer problema, pronađite korijen 6, 45, što nije cijeli broj. Prvo zapisujemo radikalni simbol (√), zatim ispod njega upisujemo broj za koji želimo uzeti kvadrat. Zatim povucite crtu iznad brojeva, baš kao i podjelu s dugim slaganjem. Sada simbol "√" izgleda kao da ima rep s brojem 6.45 pri dnu.
- Zapisat ćemo brojeve iznad problema, stoga pazite da ostavite malo praznog prostora.
Korak 2. Grupirajte znamenke broja u parove
Prvo grupirajte znamenke broja pod radikalom u parove, počevši od decimalne točke. Napravite neku vrstu markera (točka, zarez, redak itd.) Između parova radi lakšeg praćenja.
U primjeru problema 6, 45 bit će podijeljeno na 6-, 45-00. Zapamtite da s lijeve strane postoje "preostale" znamenke - to nije problem.
Korak 3. Pronađite najveći broj čija je kvadratna vrijednost manja ili jednaka prvoj skupini
Počnite s prvim brojem u skupini s lijeve strane. Odaberite najveći broj čija je kvadratna vrijednost manja ili jednaka u grupi. Na primjer, ako je grupa 37, tada odaberite 6 jer 62 = 36 <37, ali 72 = 49> 37. Napišite ovaj broj iznad prve grupe. Ovaj broj je prva znamenka vašeg odgovora.
-
U primjeru zadatka prva skupina od 6-, 45-00 je 6. Najveći broj koji je manji ili jednak 6 kada je na kvadrat je
Korak 2. - 22 = 4. Napišite broj "2" iznad 6 i rep je radikal.
Korak 4. Pomnožite broj koji ste upravo zapisali, zatim ga spustite prema dolje i oduzmite
Uzmite prvu znamenku vašeg odgovora (napisanu iznad radikala) i pomnožite je. Napišite odgovor ispod prve skupine i oduzmite kako biste pronašli razliku. Spustite sljedeću grupu desno od razlike koju ste upravo izračunali. Na kraju, s lijeve strane napišite posljednju znamenku množenja prve znamenke vašeg odgovora i ostavite prazno mjesto s desne strane.
U primjeru zadatka udvostručeni broj je 2 (prva znamenka prethodnog odgovora). 2 × 2 = 4. Zatim oduzmite 4 sa 6 (iz prve skupine). 6 - 4 rezultat je 2. Zatim spustite sljedeću skupinu (45) i dobit ćemo 245. Na kraju, ponovno napišite broj 4 s lijeve strane i ostavite malo mjesta s desne strane, ovako: 4_
Korak 5. Ispunite prazan prostor
Dodajte znamenke desno od broja koji ste napisali s lijeve strane. Odaberite znamenku koja daje najveću vrijednost ako se pomnoži s ovim novim brojem, ali je i dalje manja ili jednaka "izvedenom broju". Na primjer, ako je "izvedeni broj" 1700, a broj s vaše lijeve strane 40_, broj koji treba unijeti je "4" jer je 404 × 4 = 1616 <1700, dok je 405 × 5 = 2025. Broj koji se nalazi u ovaj korak je druga znamenka vašeg odgovora, pa ga napišite iznad radikalnog simbola.
-
U primjeru problema tražit ćemo broj pored 4_ × _ čiji je odgovor najveći broj, ali je manji ili jednak 245. Odgovor je
Korak 5.. 45 × 5 = 225, dok je 46 × 6 = 276.
Korak 6. Nastavite koristiti brojeve "prazno mjesto" da pronađete svoj odgovor
Nastavite s uzorkom podjele dugačkog slaganja sve dok razlika između oduzimanja brojeva koji se izvode ne bude nula ili dok se ne dobije prilično točan broj. Kad završite, brojevi koje ste upotrijebili za popunjavanje praznina u svakom koraku (plus prvi broj koji ste upotrijebili) čine svaku znamenku vašeg odgovora.
-
U primjeru problema oduzmite 245 sa 220 da biste dobili 20. Zatim ćemo spustiti sljedeću skupinu znamenki 00 i dobiti 2000. Pomnožimo broj iznad radikalnog simbola i dobit ćemo 25 × 2 = 50. Za popunjavanje u prazninama na 50_ × _ =/<2 000, dobivamo broj
Korak 3.. Sada imamo "253" iznad radikalnog simbola - ponovite ovaj postupak još jednom i dobijte 9 u sljedećoj znamenci.
Korak 7. Uklonite decimalni znak iz ishodišta
Da biste dobili konačan odgovor, postavite decimalnu točku na ispravnu poziciju. Lako je - samo stavite decimalnu točku u red s decimalnom točkom ispod radikalnog simbola. Na primjer, broj ispod radikala je 49, 8, pa stavite decimalnu točku između brojeva iznad 8 i 9.
U primjeru problema, ako je broj ispod radikala 6, 45, tada će decimalna točka biti u redu između znamenki 2 i 5. To znači da je konačni odgovor 2, 539.
3. dio od 3: Brzo procijenite nesavršene kvadrate
Korak 1. Pronađite nesavršeni kvadrat pomoću aproksimacije
Nakon što zapamtite savršene kvadrate, pronalaženje nesavršenih kvadrata bit će mnogo lakše. Trik je u pronalaženju savršenog kvadrata prije i poslije broja koji tražite. Zatim odredite koji je od dva savršena kvadrata najbliži broju koji tražite.
Na primjer, želimo pronaći kvadratni korijen od 40. Savršen kvadratni broj prije i poslije 40 je 62 i 72, što je 36 i 49. Budući da je 40 veće od 36 i manje od 49, kvadratni korijen 40 mora biti između 6 i 7. Broj 40 je bliži 36 nego 49, pa je kvadratni korijen 40 bliži 6. Evo nekoliko koraka za pronalaženje točnog odgovora.
Korak 2. Procijenite kvadratni korijen na jednu znamenku iza zareza
Kad ste odredili dva savršena kvadratna broja prije i poslije broja koji tražite, ostalo je proces pronalaženja broja iza zareza koji je najbliži odgovoru. Počnite s procijenjenim jednoznamenkastim brojem iza zareza. Ovaj će se postupak ponavljati sve dok ne dobijete odgovor s točnošću koju želite.
U primjeru problema razumna aproksimacija kvadratnog korijena od 40 je 6, 4, jer je odgovor najvjerojatnije bliži 6 nego 7.
Korak 3. Pomnožite procijenjeni broj sa samim brojem
Drugim riječima, uokvirite svoj približni broj. Ako imate sreće, rezultat će biti broj u problemu. Ako nije, nastavite dodavati ili oduzimati brojeve iza zareza dok ne pronađete kvadrat najbliži broju u problemu.
- Pomnožite 6, 4 sa 6, 4 da biste dobili 6, 4 × 6, 4 = 40, 96, što je nešto iznad 40.
- Budući da je početni eksperiment bio suvišan, oduzmite svoju aproksimaciju za jedno decimalno mjesto, što je 6, 3 × 6, 3 = 39, 69. Ovaj rezultat je nešto ispod broja u problemu. To znači da je kvadratni korijen od 40 između 6, 3 i 6, 4. Zatim, budući da je 39,69 bliže 40, kvadratni korijen iz 40 je također bliže 6, 3.
Korak 4. Proslijedite predviđanja prema potrebi
Koristite svoj odgovor ako mislite da je dovoljno točan. Ali ako ne, samo nastavite s gornjim približnim uzorkom dok ne pronađete odgovor s tri ili četiri znamenke iza zareza - svejedno, dok ne dosegnete željenu razinu točnosti.
